Nếu

Tôi đã thấy những điều sau đây trong một cuốn sách giáo khoa và tôi gặp khó khăn trong việc hiểu khái niệm này. Tôi hiểu rằng thường được phân phối với E ( ) = 0 và Var ( ) = .$X_n$$X_n$$X_n$$\frac{1}{n}$

Tuy nhiên, tôi không hiểu tại sao nhân với sẽ khiến nó trở thành tiêu chuẩn bình thường.$X_n$$\sqrt n$

Bởi vì phương sai là một khoảnh khắc thứ hai , liên quan đến bình phương, nên một yếu tố được bình phương.

Chính xác hơn, vì kỳ vọng là một hoạt động tuyến tính, nói chung, nếu bạn có một khoảnh khắc -order tập trung (của bạn là một khoảnh khắc tự):$d$$2$

$$\mu_{d}(X)=\operatorname {E} \left[X^{d}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{d}\,dF(x)\,$$ nhân với một hằng số dẫn đến việc lấy hằng số đó bên ngoài tích phân, bị ảnh hưởng với công suất (miễn là tích phân được xác định đúng): $X$$d$

$$\mu_{d}(aX) = a^d \mu_{d}(X)\,.$$

Vì vậy, nếu bạn nhân với , phương sai (sức mạnh của hai thời điểm) của được nhân với .$X$$\sqrt{n}$$X$$(\sqrt{n})^2$

Giá trị trung bình là một khoảnh khắc đặt hàng đầu tiên, vì vậy bạn sẽ nhân nó với và vì nó là cho$\sqrt{n}$$0$$X$ , biến kết quả vẫn có giá trị trung bình bằng không.

$X\sim N(\mu, \sigma^{2})$

$$\begin{eqnarray*} X-\mu &\sim& N(0, \sigma^{2})\\ \frac{X-\mu}{\sigma}&\sim&N(0,1). \end{eqnarray*}$$ $X_{1},X_{2},\cdots X_{n}$$N(\mu,\sigma^{2})$ $$\begin{eqnarray*} \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}&\sim & N\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)\\ \bar{X}-\mu &\sim& N\left(0,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)\\ \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma}&\sim&N(0,1) \end{eqnarray*}$$