Làm thế nào để có được khoảng tin cậy của một thử nghiệm Bernoulli nếu

Tôi biết công thức tiêu chuẩn cho Bernoulli CI là:

\hat{p} \pm z_{1 - α / 2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}}

$\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

Nếu $\hat{p} = \frac{m}{n}$ Làm thế nào để tôi ước tính khoảng tin cậy khi $\ n$ nhỏ và $\ m = 0$ ? Trường hợp này sẽ thu gọn phương trình trên thành $\ 0 \pm 0$ , ngụ ý rằng khoảng tin cậy không cải thiện với lớn hơn $\ n$ .

Trong tâm trí của tôi, CI nên bắt đầu ở [0,1] và giới hạn trên sẽ giảm xuống khi $\ n$ tăng, cho rằng $\ m$ vẫn ở mức 0.

confidence-interval small-sample bernoulli-distribution

— japata
nguồn

Bạn có thể sử dụng hàm khả năng thực tế của dữ liệu L (p) sẽ tỷ lệ thuận với

p^{m} (1 - p)^{n - m}

$p^m\,(1-p)^{n-m}$ Đưa ra một số ưu tiên trên p, ví dụ như một số phân phối Beta, bạn có thể nhận được các khoảng thời gian sau và khoảng tin cậy trên p.

— sega_sai

Lưu ý rằng điều tương tự áp dụng cho

\hat{p} = 1

$\hat{p}=1$ .

— Alexis

Chạy phân tích dữ liệu Bayes sẽ tạo ra một khoảng tin cậy ngay cả khi

\hat{p} = 0

$\hat{p}=0$ .

— Tây An

Một khả năng đôi khi được sử dụng trong một số lĩnh vực ứng dụng được gọi là " quy tắc ba ". Cũng xem trang Wikipedia trên đó

— Glen_b -Reinstate Monica

Lý do khoảng tin cậy "CLT" thông thường trở thành 0 là vì khi $p$ rất gần với 0 hoặc 1 (và số lượng mẫu tương đối thấp), CLT trở thành một xấp xỉ xấu. Đó là bởi vì khi $p=0,1$ , biến ngẫu nhiên của bạn là hằng số. Mặt khác, khi $p$ rất gần với 1 hoặc 0, bạn cần một lượng mẫu rất lớn để phân biệt $p$ từ chính xác 1 hoặc 0.

Có một vài cách tiếp cận để có được khoảng tin cậy thực sự. Cách dễ dàng là thu hút khoảng cách điểm Wilson :

\frac{1}{1 + \frac{1}{n} z^{2}} [\hat{p} + \frac{1}{2 n} z^{2} \pm z \sqrt{\frac{1}{n} \hat{p} (1 - \hat{p}) + \frac{1}{4 n^{2}} z^{2}}] .

$\frac{1}{1 + \frac{1}{n} z^2} \left[ \hat{p} + \frac{1}{2n} z^2 \pm z \sqrt{ \frac{1}{n}\hat{p} \left(1 - \hat{p}\right) + \frac{1}{4n^2}z^2 } \right].$

Tùy chọn thứ hai là ước tính số lượng khoảng tin cậy thực sự bằng cách sử dụng rõ ràng phân phối nhị thức, trái ngược với việc thu hút phân phối bình thường.

— Alex R.
nguồn

Cảm ơn đã giúp đỡ! Khoảng thời gian điểm Wilson hành xử gần hơn với mong đợi của tôi. Tôi sẽ đọc một số phương pháp khác nhau trong các khoảng tin cậy, vì tất cả những gì tôi đã tiếp xúc là các phương pháp CLT.

— japata