Tìm MLE cho quy trình Hawkes theo cấp số nhân

Quá trình Hawkes theo cấp số nhân là một quá trình điểm tự kích thích với tỷ lệ đến sự kiện là:

$\lambda(t) = \mu + \sum\limits_{t_i<t}{\alpha e^{-\beta(t-t_i)}}$

trong đó là thời gian đến sự kiện.$t_1,..t_n$

Hàm khả năng đăng nhập là

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum\limits_{i<j}{\ln(\mu+\alpha e^{-\beta(t_j-t_i)})}$

có thể được tính toán đệ quy:

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum{\ln(\mu+\alpha R(i))}$

$R(i) = e^{-\beta(t_i-t_{i-1})} (1+R(i-1))$

$R(1) = 0$

Tôi có thể sử dụng phương pháp số nào để tìm MLE? Phương pháp thực tế đơn giản nhất để thực hiện là gì?

Thuật toán đơn giản Nelder-Mead dường như hoạt động tốt .. Nó được triển khai trong Java bởi thư viện Apache Commons Math tại https://commons.apache.org/math/ . Tôi cũng đã viết một bài báo về các quy trình Hawkes tại Mô hình quy trình điểm cho dữ liệu không đều nhau tần số cao tần số đa biến .

felix, sử dụng biến đổi exp / log dường như để đảm bảo tính tích cực của các tham số. Đối với điều alpha nhỏ, tìm kiếm arxiv.org cho một bài báo gọi là "định lý giới hạn cho các quá trình bán hàng gần như không ổn định"

Tôi đã giải quyết vấn đề này bằng thư viện nlopt . Tôi tìm thấy một số phương thức hội tụ khá nhanh.

Bạn cũng có thể làm tối đa hóa đơn giản. Trong R:

neg.loglik <- function(params, data, opt=TRUE) {
  mu <- params[1]
  alpha <- params[2]
  beta <- params[3]
  t <- sort(data)
  r <- rep(0,length(t))
  for(i in 2:length(t)) {
    r[i] <- exp(-beta*(t[i]-t[i-1]))*(1+r[i-1])
  }
  loglik <- -tail(t,1)*mu
  loglik <- loglik+alpha/beta*sum(exp(-beta*(tail(t,1)-t))-1)
  loglik <- loglik+sum(log(mu+alpha*r))
  if(!opt) {
    return(list(negloglik=-loglik, mu=mu, alpha=alpha, beta=beta, t=t,
                r=r))
  }
  else {
    return(-loglik)
  }
}

# insert your values for (mu, alpha, beta) in par
# insert your times for data
opt <- optim(par=c(1,2,3), fn=neg.loglik, data=data)