Nhận dạng các hàm tạo mô men

Có bất kỳ phân phối không giống nhau nào có cùng chức năng tạo mô men không?

Đúng.

Trong một bài tập, Stuart & Ord ( Lý thuyết thống kê nâng cao của Kendall , Ed lần thứ 5, ví dụ 3.12) trích dẫn một kết quả năm 1918 của TJ Stieltjes (dường như xuất hiện trong Oeuvres Hoàn thành của ông , ):

Nếu là hàm lẻ của giai đoạn $f$ , cho thấy rằng$\frac{1}{2}$

$$\int_0^\infty x^r x^{-\log x} f(\log x) dx = 0$$

cho tất cả các giá trị tích phân của . Do đó cho thấy rằng các bản phân phối$r$

$$dF = x^{-\log x}(1 - \lambda \sin(4\pi \log x))\ dx, \quad 0 \le x \lt \infty;\quad 0 \le |\lambda| \le 1,$$

có cùng thời điểm bất kể giá trị của .$\lambda$

(Trong bản gốc, chỉ xuất hiện như λ ; những hạn chế về kích thước của λ phát sinh từ yêu cầu để giữ tất cả các giá trị của hàm mật độ d F . Không âm) Việc thực hiện rất dễ dàng để giải quyết thông qua thay thế các x = exp ( y ) và hoàn thành hình vuông. Trường hợp λ = 0 là nổi tiếng phân phối lognormal .$|\lambda|$$\lambda$$\lambda$$dF$$x = \exp(y)$$\lambda=0$

$\lambda=0$$\lambda = -1/4$$\lambda = 1/2$