Thống kê đầy đủ cho trong một

Tôi muốn biết liệu thống kê đã hoàn tất cho trong cài đặt .

T (X_{1}, \dots, X_{n}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - {\bar{X}}_{n})^{2}}{n - 1}

$T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X}_n)^2}{n-1}$

σ^{2}

$\sigma^2$

N (μ, σ^{2})

$N(\mu,\sigma^2)$

Điều này có phụ thuộc vào việc có được biết trước hay không? Nếu hoàn thành cho , thì bởi Lehmann-Scheffé, đó là UMVUE . Nhưng nếu đã được biết, chúng ta có thể đã xem có phương sai bằng Cramer-Rao bị ràng buộc và hoàn toàn nhỏ hơn , vì vậy không thể là UMVUE. $\mu$ $T$ $\sigma^2$ $\mu$

W (X_{1}, \dots, X_{n}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - μ)^{2}}{n},

$W(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{n},$

2 σ^{4} / n

$2\sigma^4/n$

2 σ^{4} / (n - 1) = Var [T]

$2\sigma^4/(n-1)=\text{Var}[T]$

T

$T$

— người dùng39756
nguồn

Có lẽ bạn sẽ đồng ý với tôi rằng T không thiên vị khi mu được biết đến.

— Michael R. Chernick

@MichaelCécick Bạn có nói chung rằng không?

E [T] = σ^{2}

$E[T]=\sigma^2$

— dùng39756

Xin lỗi bạn đúng T có trung bình mẫu được sử dụng trong công thức. Tôi đã nghĩ về W.

— Michael R. Chernick

Gợi ý : Bạn đã kiểm tra xem có đủ trong trường hợp được biết không?

T

$T$

μ

$\mu$

— Đức hồng y

Câu trả lời:

Tôi nghĩ rằng tôi đã giải quyết câu hỏi của riêng tôi. Bình luận về câu trả lời này và câu trả lời mới được chào đón.

Nếu là quan sát trong một dân số và là vô danh , sau đó (điều này cho thấy rằng gia đình bình thường là một gia đình theo cấp số nhân). Là hình ảnh của bản đồ chứa một tập hợp mở , theo một định lý (ví dụ, xem trang 6 ở đây ), thống kê $x_1,\ldots,x_n$ $N(\mu,\sigma^2)$ $\mu$

f (x_{1}, \dots, x_{n} | μ, σ^{2}) = {(\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}})}^{n} e^{- \frac{n μ^{2}}{2 σ^{2}}} e^{\frac{μ}{σ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} - \frac{1}{2 σ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}

$f(x_1,\ldots,x_n|\mu,\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{n\mu^2}{2\sigma^2}}e^{\frac{\mu}{\sigma^2}\sum_{i=1}^nx_i-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n x_i^2}$

(μ, σ^{2}) \in R \times R^{+} \mapsto (\frac{μ}{σ^{2}}, - \frac{1}{2 σ^{2}})

$(\mu,\sigma^2)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}^+\mapsto (\frac{\mu}{\sigma^2},-\frac{1}{2\sigma^2})$

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

U = (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}, \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2})

$U=(\sum_{i=1}^n X_i,\sum_{i=1}^n X_i^2)$ là đủ và đầy đủ cho . Vì là một hàm của và được đặt ở giữa là , bởi Lehmann-Scheffé là UMVUE cho .

(μ, σ^{2})

$(\mu,\sigma^2)$

T

$T$

U

$U$

σ^{2}

$\sigma^2$

T

$T$

σ^{2}

$\sigma^2$

Bây giờ, nếu được biết đến , không thuộc về không gian tham số nữa, do đó "mới" hàm mật độ là (chúng tôi có một gia đình hàm mũ mới). Vì hình ảnh của bản đồ chứa một tập hợp con mở của , thống kê của chúng tôi là đủ và hoàn thành cho . Vì nó nằm ở trung tâm, là UMVUE cho của Lehmann-Scheffé. $\mu=\mu_0$ $\mu$

f (x_{1}, \dots, x_{n} | σ^{2}) = {(\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}})}^{n} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - μ_{0})^{2}}

$f(x_1,\ldots,x_n|\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_0)^2}$

σ^{2} \in R^{+} \mapsto - \frac{1}{2 σ^{2}}

$\sigma^2\in\mathbb{R}^+\mapsto -\frac{1}{2\sigma^2}$

R

$\mathbb{R}$

W

$W$

σ^{2}

$\sigma^2$

W

$W$

σ^{2}

$\sigma^2$

— người dùng39756
nguồn

Trong thống kê của bạn , được sử dụng làm ước tính của . Nếu bạn biết giá trị thực của , thì công cụ ước tính của phương sai là thích hợp hơn. là không thiên vị và có một sai thấp hơn so với . Như vậy, trong bối cảnh mà được biết đến, sử dụng . $T(X_{1},\ldots,X_{n})$ $\bar{X}$ $\mu$ $\mu$ $W(X_{1},\ldots,X_{n})$ $W$ $T$ $\mu$ $W$

— Ed P
nguồn

Tôi biết rằng thích hợp hơn, nhưng tôi muốn hiểu tại sao không hoàn thành khi được biết đến.

W

$W$

T

$T$

μ

$\mu$

— dùng39756

Tôi đã tìm kiếm trên mạng để làm mới trí nhớ của tôi trên Định lý Lehmann-Scheffe và Rao-Blackwell. Tôi đồng ý với OP rằng câu trả lời có thể là T không phải là một thống kê đầy đủ khi mu được biết đến. Tôi nghĩ rằng có thể là không gian tham số thay đổi.

— Michael R. Chernick