Hồi quy lượng tử so với OLS cho đồng đẳng

Tôi có một câu hỏi về hệ số độ dốc của OLS so với câu hỏi về Hồi quy lượng tử, khi phải đối mặt với các điều khoản lỗi homoscedastic. Mô hình dân số có thể trông như sau:

$y_i = \beta_0 + \beta_{1}x_i + u_i$

với là iid điều khoản lỗi. Hệ số độ dốc ước tính hội tụ đến cùng một giá trị cho OLS và cho QR cho các lượng tử khác nhau? Trong khi các ước tính mẫu có thể khác với nhau.$u_i$$\hat{\beta}_{1}$$\beta_{1}$$\hat{\beta}_{1}$

Xem xét sự hội tụ của các công cụ ước tính QR, tôi biết rằng trong sự hiện diện của đồng đẳng, tất cả các tham số độ dốc cho các hồi quy lượng tử khác nhau sẽ hội tụ đến cùng một giá trị (như được hiển thị bởi Koenker 2005: 12). Nhưng tôi chỉ không chắc chắn sự hội tụ của hệ số OLS sẽ so sánh như thế nào với hệ số QR trung bình (LAD) . Có bằng chứng nào cho thấy cả hai sẽ hội tụ đến cùng một giá trị không? Trực giác của tôi nói với tôi điều này nên là trường hợp.$\beta_{1}$$\beta_{1}(0.5)$

Câu trả lời có lẽ nằm ở chức năng mất cho OLS và QR. OLS giảm thiểu số dư bình phương, trong khi QR (đối với trung vị) giảm thiểu độ lệch tuyệt đối. Do đó, khi các lỗi được bình phương, OLS đặt trọng số lên các ngoại lệ trái ngược với QR. Nhưng trong trường hợp đồng nhất, không nên bỏ qua nhau vì các lỗi tích cực có thể giống như các lỗi âm, biểu hiện OLS và độ dốc QR trung bình tương đương (ít nhất là về mặt hội tụ)?

Cập nhật
Để kiểm tra dự đoán rằng đối với đồng đẳng, các hệ số độ dốc cho các lượng tử khác nhau là tương đương, tôi đã chạy thử nghiệm ở stata. Điều này được thực hiện chỉ để xác nhận kết quả của Koenker (2005) đã đề cập trước đó. Câu hỏi ban đầu liên quan đến sự hội tụ của OLS so với QR. Tôi đã tạo n = 2000 quan sát với Stata thông qua:

set obs 2000  
set seed 98034  
generate u = rnormal(0,8)  
generate x = runiform(0,50)
generate y = 1 + x + u

Đối với mẫu này, tôi đã thực hiện hồi quy QR cho các lượng tử (0,10, 0,50, 0,90) và sau đó kiểm tra giả thuyết chung rằng hệ số độ dốc của ba lượng tử là giống hệt nhau, nghĩa là:

$H_0: \beta_1(0.1)=\beta_1(0.5)=\beta_1(0.9)$

Đây là mã stata tương ứng:

sqreg y x, quantile(.1, .5, .9) reps(400)
test [q10=q50=q90]: x

Bằng chứng là quá sức, H0 rất có thể không bị từ chối. Đầu ra cho bài kiểm tra Wald:

F(  2,  1998) =    0.79
Prob > F =    0.4524

Điều này khẳng định lại suy nghĩ của tôi, nhưng nó không cung cấp bất kỳ hướng dẫn lý thuyết nào về việc liệu điều này có nên luôn được mong đợi hay không.

Hệ số độ dốc ước tính luôn giống nhau đối với OLS và đối với QR đối với các lượng tử khác nhau?$\beta_1$

Tất nhiên là không, bởi vì hàm mất mát theo kinh nghiệm được giảm thiểu khác nhau trong các trường hợp khác nhau này (OLS so với QR cho các lượng tử khác nhau).

Tôi nhận thức rõ rằng trong sự hiện diện của đồng đẳng, tất cả các tham số độ dốc cho các hồi quy lượng tử khác nhau sẽ giống nhau và các mô hình QR sẽ chỉ khác nhau trong phần chặn.

Không, không phải trong các mẫu hữu hạn. Dưới đây là một ví dụ được lấy từ các tệp trợ giúp của gói "quantreg" trong R:

library(quantreg)
data(stackloss)
rq(stack.loss ~ stack.x,tau=0.50) #median (l1) regression fit for the stackloss data.
rq(stack.loss ~ stack.x,tau=0.25) #the 1st quartile

Tuy nhiên, không có triệu chứng tất cả chúng sẽ hội tụ đến cùng một giá trị thực.

Nhưng trong trường hợp đồng nhất, không nên bỏ qua nhau vì các lỗi tích cực có thể giống như các lỗi âm, khiến OLS và độ dốc QR trung bình tương đương?

Không. Đầu tiên, tính đối xứng hoàn hảo của các lỗi không được đảm bảo trong bất kỳ mẫu hữu hạn nào. Thứ hai, việc giảm thiểu tổng bình phương so với giá trị tuyệt đối nói chung sẽ dẫn đến các giá trị khác nhau ngay cả đối với các lỗi đối xứng.

Nói chung, câu trả lời là có, ít nhất là cho hồi quy của Theil, đây là trường hợp đặc biệt của QR. Công cụ ước tính độ dốc cho hồi quy của Theil là một công cụ ước tính không thiên vị về độ dốc dân số. Nếu tất cả các yêu cầu cho OLS được đáp ứng, thì nó có hiệu suất tương đối 85%. Có một số trường hợp nhất định trong đó nó trở nên hiệu quả hơn bình phương tối thiểu trên cơ sở tương đối.

Ngoài ra, nếu bạn không ngồi xung quanh với một lượng dữ liệu vô hạn, mà thay vào đó là một mẫu nhỏ, có nhiều nơi thích hợp hơn. Xiên và cắt bớt bằng cách không cho phép các giá trị âm có thể có tác động mạnh mẽ đến OLS và không ảnh hưởng gì đến phương pháp của Theil.