Nghịch lý của quá trình Poisson với ít nhất một sự kiện trong khoảng

Đặt là một số sự kiện trong quá trình Poisson có tỷ lệ đơn vị ( ) trong khoảng thời gian dài . Được biết, ít nhất một sự kiện đã được quan sát trong khoảng, tôi muốn tìm xác suất có nhiều sự kiện hơn trong khoảng đó. $X_T$ $\lambda = 1$ $T$

Trực giác của tôi là . $\Pr(X_T > 1 \mid X_T > 0) = \Pr(X_T > 0)$

Lý do đằng sau là

nếu sự kiện được quan sát là tại thời điểm $t$ kể từ đầu khoảng, thì đủ để tính xác suất rằng không có sự kiện nào xảy ra trong các khoảng thời gian mở $(0, t)$ hoặc $(t, T)$ : $\Pr(X_T = 1 \mid X_T > 0) = \Pr(X_t = 0) \Pr(X_{T-t} = 0) = e^{-t} e^{t - T} = e^{-T} = \Pr(X_T = 0)$ ,
$\Pr(X_T > 1 \mid X_T > 0) = 1 - \Pr(X_T = 1 \mid X_T > 0) \\ \Pr(X_T > 0) = 1 - \Pr(X_T = 0) .$

Tuy nhiên

\begin{aligned} Pr (X_{T} > 1 ∣ X_{T} > 0) = \frac{Pr (X_{T} > 1, X_{T} > 0)}{Pr (X_{T} > 0)} = \frac{Pr (X_{T} > 1)}{Pr (X_{T} > 0)} \\ = & \frac{1 - Pr (X_{T} \in {1, 0})}{1 - Pr (X_{T} = 0)} = \frac{1 - T e^{- T} - e^{- T}}{1 - e^{- T}}, \end{aligned}

$\begin{align} & \Pr(X_T > 1 \mid X_T > 0) = \frac{\Pr(X_T > 1, X_T > 0)}{\Pr(X_T > 0)} = \frac{\Pr(X_T > 1)}{\Pr(X_T > 0)} \\[10pt] = {} & \frac{1 - \Pr(X_T \in \{1, 0\})}{1 - \Pr(X_T = 0)} = \frac{1 - Te^{-T} - e^{-T}}{1 - e^{-T}} , \end{align}$

điều mà cả tôi và WolframAlpha đều không thể chứng minh bằng $\Pr(X_T > 0) = 1 - e^{-T}$ .

Vì cả hai kết quả đều không thể đúng - lỗi của tôi ở đâu?

Tôi có thể thấy rằng $X_T > 1$ và $X_T > 0$ phụ thuộc rất nhiều. Có vấn đề gì không? Trực giác của tôi là $X_T > 0$ chỉ thu hẹp không gian lấy mẫu ...

[CHỈNH SỬA # 1]

Tôi đã tìm thấy một cách khác để hỗ trợ ... cả hai kết quả.

Nếu là thời gian của sự kiện đầu tiên trong khoảng (từ đầu khoảng), mật độ phân phối của nó sẽ được đưa ra làSau đó $t$ $\operatorname{pdf}(t) = \frac{e^{-t}}{1 - e^{-T}}.$

Pr (X_{T} = 1 ∣ X_{T} > 0) = \int_{0}^{T} pdf (t) Pr (X_{T - t} = 0) d t = \int_{0}^{T} \frac{e^{- t} e^{t - T}}{1 - e^{- T}} d t = T \frac{e^{- T}}{1 - e^{- T}} .

$\Pr(X_T = 1 \mid X_T > 0) = \int_0^T \operatorname{pdf}(t) \Pr(X_{T-t} = 0) \, dt = \int_0^T \frac{e^{-t}e^{t - T}}{1 - e^{-T}} \, dt = T\frac{e^{-T}}{1 - e^{-T}} .$

Tuy nhiên nếu tôi lặp lại các bước tương tự cho phân bố đều ( ) sự kiện ngẫu nhiên trong khoảng thời gian và đưa vào tài khoản cũng sự kiện trước khi tôi vẫn nhận được $\operatorname{pdf}(t) = \frac 1 T$ $t$

Pr (X_{T} = 1 ∣ X_{T} > 0) = \int_{0}^{T} pdf (t) Pr (X_{t} = 0) Pr (X_{T - t} = 0) d t = \int_{0}^{T} \frac{e^{- T}}{T} d t = e^{- T} .

$\Pr(X_T = 1 \mid X_T > 0) = \int_0^T \operatorname{pdf}(t) \Pr(X_t = 0) \Pr(X_{T-t} = 0) \, dt = \int_0^T \frac{e^{-T}} T \, dt = e^{-T} .$

[EDIT # 2]

Theo dõi do nhận xét của @combo (về việc mất điều hòa trong cách tiếp cận đầu tiên).

Tôi không hiểu, tại sao điều hòa bị mất.

Hãy tưởng tượng một tình huống trong đó chúng ta tạo ra một khoảng thời gian với ít nhất một sự kiện của quá trình Poisson đơn nhất trong đó. Đặt là một sự kiện ngẫu nhiên của quá trình Poisson đơn nhất và là một biến ngẫu nhiên được phân bố đồng đều trong . Khi đó là một khoảng có độ dài chứa ít nhất một sự kiện, tại (phân bố đồng đều) từ đầu khoảng. Từ tính độc lập của các sự kiện, xác suất không còn sự kiện nào trong khoảng là , phải không? Và nó được cho rằng có ít nhất một sự kiện trong khoảng. $T$ $Y$ $t$ $(0,~T)$ $(Y~-~t,~Y~-~t~+~T)$ $T$ $t$ $\Pr(X_t == 0)\Pr(X_{T - t} == 0)$

Tại sao tình huống lại khác khi tôi có một khoảng thời gian chứa ít nhất một sự kiện? Thời gian của một sự kiện được chọn ngẫu nhiên ( ; từ đầu khoảng) được phân phối đồng đều, vì vậy tôi thấy không có sự khác biệt. $T$ $t$

— abukaj
nguồn

Tại sao bạn nói rằng ? Tôi không hiểu tại sao điều này nên xảy ra và tôi đây là nguồn gốc của những rắc rối của bạn. Khi tôi tự giải quyết, tôi nhận được câu trả lời giống như cách tiếp cận số 2 của bạn.

P (X_{T} = 1 ∣ X_{T} > 0) = P (X_{t} = 0) P (X_{T - t} = 0)

$P(X_T = 1 \mid X_T > 0) = P(X_t = 0)P(X_{T-t} = 0)$

— combo

@StefanJorgensen Tôi thấy quan điểm của bạn. Tuy nhiên, không nên là ?

P (X_{t} = 1) P (X_{T - t} = 0) = t e^{- t} e^{- (T - t)} = t e^{- T}

$P(X_t=1)P(X_{T-t}=0) = te^{-t}e^{-(T-t)} = te^{-T}$

— abukaj

@StefanJorgensen trả lời bình luận thứ hai của bạn: đó là vì tôi coi sự kiện này là một điểm phân chia khoảng thời gian thành hai khoảng thời gian không xác định của các sự kiện.

— abukaj

@StefanJorgensen giống như trả lời một câu hỏi: được đưa ra có một sự kiện tại thời điểm , xác suất không có sự kiện nào trong hoặc .

t

$t$

(0, t)

$(0, t)$

(t, T)

$(t, T)$

— abukaj

Ngoại trừ phương trình chỉ đơn giản là xác suất không có sự kiện nào trong hoặc và hoàn toàn không thể hiện điều hòa của bạn . Đây là lý do tại sao câu trả lời của bạn cuối cùng chỉ đơn giản là xác suất có ít nhất một sự kiện (vì điều hòa bị mất ngay từ đầu), trong khi thực tế điều hòa không thay đổi kết quả.

P (X_{t} = 0) P (X_{T - t} = 0)

$P(X_t = 0)P(X_{T-t}=0)$

(0, t)

$(0,t)$

(t, T)

$(t,T)$

— combo

Câu trả lời:

Cuối cùng tôi đã tìm nó ra!

Theo lời khuyên của @ combo, tôi sẽ sử dụng thuật ngữ "xảy ra".

Đáng ngạc nhiên, phần đầu tiên của lý do cho trực giác của tôi là gần như chính xác.

Nếu sự xuất hiện quan sát được tại thời điểm kể từ đầu khoảng, thì đủ để tính xác suất không xảy ra trong các khoảng hoặc các khoảng thời gian mở: . $t$ $(0, t)$ $(t, T)$ $\Pr(X_T = 1 \mid t) = \Pr(X_t = 0) \Pr(X_{T-t} = 0) = e^{-t} e^{t - T} = e^{-T} = \Pr(X_T = 0)$

Sự khác biệt là thay thế bằng , có thể được xem là , trong đó là độ dài của khoảng vô cực . Vì , chúng tôi có thể thấy là mật độ tại điểm của chỉ xảy ra trong khoảng . $\Pr(X_T = 1 \mid X_T > 0)$ $\Pr(X_T = 1 \mid t)$ $\Pr(X_T = 1 \mid X_{dt} = 1)$ $dt$ $[t - \frac{dt}{2}, t + \frac{dt}{2}]$ $\Pr(X_T = 1, t) = e^{-T} dt$ $\operatorname{pdf}(t) = \Pr(X_T = 1 \mid t)$ $t$ $(0, T)$

Vì giá trị của không xác định, chúng tôi tích hợp . Cho đến nay rất tốt - chúng tôi biết xác suất vô điều kiện có chính xác một lần xuất hiện trong khoảng thời gian. Tuy nhiên, bằng cách điều chỉnh trên phần của không gian lấy mẫu đã bị loại bỏ - do đó cần phải chuẩn hóa mọi xác suất / mật độ còn lại theo hệ số . $t$ $\int_0^T \operatorname{pdf}(t) dt = Te^{-T} = \Pr(X_T = 1)$ $X_T > 0$ $e^{-T}$ $\frac{1}{1 - e^{-T}}$

Do đó, trực giác là sai lầm của xác suất nhầm với mật độ.

— abukaj
nguồn

Lưu ý nhanh về thuật ngữ để tránh gây nhầm lẫn cho bản thân: Tôi sẽ đề cập đến một sự việc xảy ra tại một thời điểm cụ thể là "sự kiện" chứ không phải là "sự kiện" để tránh nhầm lẫn với định nghĩa khắt khe hơn về sự kiện là một yếu tố của mẫu không gian.

Hãy bắt đầu từ định nghĩa của quá trình đếm Poisson. Hãy là số lần xuất hiện điều đó xảy ra theo thời gian . Nó có các thuộc tính sau: $N(t)$ $T$

$N(0) = 0$
$N(T_1), (N(T_2)- N(T_1))$ độc lập với (thuộc tính gia tăng độc lập) $T_1 < T_2$
Số lần xuất hiện trong bất kỳ khoảng thời gian là biến ngẫu nhiên Poisson với tham số (với mục đích của chúng tôi, ). $t$ $\lambda t$ $\lambda = 1$

Thuộc tính gia tăng độc lập là những gì đang làm bạn vấp ngã - cụ thể là những tác động của sự bất bình đẳng nghiêm ngặt.

Chúng tôi đang đặt câu hỏi, cho rằng sự cố xảy ra tại thời điểm , xác suất mà bao nhiêu? Theo cách tiếp cận của bạn, hãy chia quá trình thành ba phân đoạn. Đối với một số , chúng tôi có: và bây giờ chúng tôi đang xem xét xác suất $t \in [0,T]$ $N(T) = 1$ $\epsilon < \min\{t, T-t\}$

N (T) = (N (T) - N (t + ϵ)) + (N (t + ϵ) - N (t - ϵ)) + (N (t - ϵ) - N (0))

$N(T) = \left(N(T) - N(t+\epsilon) \right) + \left(N(t+\epsilon) - N(t-\epsilon) \right) + \left(N(t-\epsilon) - N(0)\right)$

\begin{aligned} lim_{ε \to 0} P (N (T) = = 1 | N (t + ε) - N (t - ε) = = 1) \\ = = lim_{ε \to 0} P (N (t - ε) - N (0) = = 0, N (T) - N (t + ε) = = 0 | N (t + ε) - N (t - ε) = = 1) \end{aligned}

$\begin{align*} &\lim_{\epsilon \to 0} P\left( N(T) = 1 \mid N(t+\epsilon) - N(t-\epsilon) = 1 \right)\\ &=\lim_{\epsilon\to 0} P\left( N(t-\epsilon) - N(0) = 0, N(T) - N(t+\epsilon) = 0 \mid N(t+\epsilon) - N(t-\epsilon) = 1\right) \end{align*}$ Lưu ý rằng điều này không hoàn toàn giống như những gì bạn đã viết. Có hai điểm khác biệt chính:

Các khoảng không tách rời nhau, vì vậy trong khi độc lập với , thì không độc lập với . $N(t-\epsilon) - N(0)$ $N(T) - N(t+\epsilon)$ $N(t+\epsilon) - N(t-\epsilon)$
Các khoảng đều có số đo tích cực. Theo cách tiếp cận của bạn, bạn chia khoảng thành ba phần, . Vấn đề là bây giờ bạn đang điều chỉnh về sự kiện xảy ra trong khoảng , có số đo bằng 0 (để biết thêm chi tiết về lý do tại sao đây là một vấn đề, xem bài đăng này ). $[0,T]$ $[0,t), [t], (t,T]$ $[t]$

— kết hợp
nguồn

1. Tôi hơi bối rối về và trong đoạn cuối. Bạn có nghĩa là có một khoảng chồng chéo kích thước ? 2. Nó có thể là một hiệu ứng của sự nhầm lẫn, nhưng tôi không thấy sự khác biệt giữa và cho rằng sự xuất hiện tại được đưa ra: .

ϵ

$\epsilon$

s

$s$

ϵ - s

$\epsilon - s$

lim_{s \to 0} P (N (t - s) - N (0) = 0, N (T) - N (t + s) = 0 ∣ N (t + s) - N (t - s) = 1)

$\lim_{s\to 0} P\left( N(t-s) - N(0) = 0, N(T) - N(t+s) = 0 \mid N(t+s) - N(t-s) = 1\right)$

lim_{s \to 0} P (N (t - s) - N (0) = 0, N (T) - N (t + s) = 0)

$\lim_{s\to 0} P\left( N(t-s) - N(0) = 0, N(T) - N(t+s) = 0\right)$

t

$t$

P (N (t + s) - N (t - s) = 1) = 1

$P\left( N(t+s) - N(t-s) = 1\right) = 1$

— abukaj

Xin lỗi về điều đó, tôi có nghĩa là họ giống nhau nhưng máy tính của tôi đã chết trong khi chỉnh sửa. Sự khác biệt chính là nguồn gốc của sự nhầm lẫn của mình: sự kiện là không độc lập của sự kiện cho . Nếu bạn cố gắng tạo (với đẳng thức, không phải giới hạn), thì khoảng đó là một số đơn và bạn đang điều hòa trên một tập hợp có số đo bằng 0.

{N (t - ϵ) - N (0) = 0, N (T) - N (t + ϵ) = 0}

$\{N(t-\epsilon)-N(0) = 0, N(T)-N(t+\epsilon) = 0\}$

{N (t + ϵ) - N (t - ϵ) = 1}

$\{N(t+\epsilon)-N(t-\epsilon) = 1\}$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

ϵ = 0

$\epsilon = 0$

— kết hợp

Chà, tôi không thấy sự phụ thuộc. Tuy nhiên, tôi đã tìm được ngụy biện (xem câu trả lời của tôi) - và vì khoảng rất quan trọng, do đó +1.

[t - ϵ, t + ϵ]

$[t - \epsilon, t + \epsilon]$

— abukaj

Trong hai cách tiếp cận vấn đề của bạn, cách thứ hai dường như được chú ý. Nó là nghiêm ngặt hơn nhiều và hoàn toàn có ý nghĩa với tôi. Tuy nhiên, tôi gặp khó khăn hơn một chút trong việc hiểu cách tiếp cận đầu tiên, điều này đưa ra lý do để tin rằng đây là nguồn gốc của sai lầm của bạn.

Trước hết, vì tò mò, tại sao bạn lại tính ? Với cách tiếp cận giống như bạn đã sử dụng dưới đây, xác suất này (theo như có liên quan) sẽ bằng không theo định nghĩa bằng . Hi vọng điêu nay co ich! $P(X_{T}=1|X_{T}>0)$ $\frac{Te^{-T}}{1-e^{-T}}$ $e^{-T}$

— Felix van Doorn
nguồn

Tôi vẫn không thể nhìn thấy sai lầm của mình trong cách tiếp cận đầu tiên. Tôi đang tính toán vì - xem chỉnh sửa.

P (X_{T} > 1 | X_{T} > 0) = 1 - P (X_{T} = 1 | X_{T} > 0)

$P(X_T > 1| X_T > 0) = 1 - P(X_T = 1| X_T > 0)$

— abukaj