Thông tin đơn vị trước đó là gì?

Tôi đã đọc Wagenmakers (2007) Một giải pháp thiết thực cho vấn đề phổ biến của các giá trị p . Tôi bị thu hút bởi việc chuyển đổi các giá trị BIC thành các yếu tố và xác suất Bayes. Tuy nhiên, cho đến nay tôi không nắm bắt được chính xác thông tin đơn vị trước đó là gì. Tôi sẽ biết ơn về một lời giải thích với hình ảnh, hoặc mã R để tạo ra hình ảnh, đặc biệt này trước.

Thông tin đơn vị trước là phụ thuộc vào dữ liệu, (thường là đa biến Bình thường) với giá trị trung bình tại MLE và độ chính xác bằng với thông tin được cung cấp bởi một quan sát. Xem ví dụ báo cáo công nghệ này , hoặc bài báo này để biết chi tiết đầy đủ. Ý tưởng của UIP là đưa ra một ưu tiên rằng 'hãy để dữ liệu tự nói lên'; trong hầu hết các trường hợp, việc bổ sung ưu tiên cho bạn biết nhiều như một quan sát tập trung trong đó các dữ liệu khác là 'trỏ' sẽ ít ảnh hưởng đến phân tích tiếp theo. Một trong những ứng dụng chính của nó là cho thấy việc sử dụng BIC tương ứng, trong các mẫu lớn, để sử dụng các yếu tố Bayes, với UIP trên các tham số của chúng.

Có lẽ cũng đáng lưu ý rằng nhiều nhà thống kê (bao gồm cả Bayes) không thoải mái khi sử dụng Yếu tố Bayes và / hoặc BIC, cho nhiều vấn đề được áp dụng.

Thông tin đơn vị trước dựa trên cách hiểu về liên hợp sau:

Thiết lập

• $X^{n}=(X_{1}, \ldots, X_{n})$$X_{i} \sim \mathcal{N}( \mu, \sigma^{2})$$\mu$$\sigma^2$$\bar{X} \sim \mathcal{N}(\mu, \tfrac{\sigma^{2}}{n} )$
• Bình thường trước cho :$\mu$ Với có cùng phương sai như trong dữ liệu.$\mu \sim \mathcal{N} (a, \sigma^{2})$
• Hậu thế bình thường cho :$\mu$ Với trong đó và .$\mu \sim \mathcal{N} (M, v)$$M=\tfrac{1}{n+1}(a + n \bar{x})$$v= \tfrac{\sigma^2}{n+1}$

Diễn dịch

Do đó, sau khi quan sát dữ liệu , chúng tôi có một hậu tố cho tập trung vào sự kết hợp lồi của quan sát và những gì được đưa ra trước khi dữ liệu được quan sát, đó là là, . Hơn nữa, phương sai của hậu thế được đưa ra bởi , do đó, như thể chúng ta có các quan sát thay vì$\bar{X}=\bar{x}$$\mu$$\bar{x}$$a$$\tfrac{\sigma^{2}}{n+1}$$n+1$$n$so sánh phân phối mẫu của giá trị trung bình mẫu. Lưu ý rằng phân phối lấy mẫu không giống với phân phối sau. Tuy nhiên, loại sau trông giống như nó, cho phép dữ liệu tự nói lên. Do đó, với các thông tin một đơn vị trước khi được một sau đó chủ yếu tập trung vào các dữ liệu, , và bị thu hẹp về phía trước thông tin như một one-off phạt.$\bar{x}$$a$

Kass và Wasserman, hơn nữa, đã chỉ ra rằng lựa chọn mô hình so với với tiêu chí đưa ra ở trên có thể gần đúng với tiêu chí Schwartz (về cơ bản, BIC / 2) khi lớn.$M_{0}:\mu=a$$M_{1}: \mu \in \mathbf{R}$$n$

Một số nhận xét:

• Thực tế BIC xấp xỉ một yếu tố Bayes dựa trên thông tin đơn vị trước đó, không ngụ ý rằng chúng ta nên sử dụng thông tin đơn vị trước khi xây dựng yếu tố Bayes. Lựa chọn mặc định của Jeffreys (1961) là sử dụng Cauchy trước về kích thước hiệu ứng thay vào đó, xem thêm Ly et al. (báo chí) cho một lời giải thích về sự lựa chọn của Jeffreys.
• Kass và Wasserman đã chỉ ra rằng BIC chia cho một hằng số (liên quan đến Cauchy với phân phối bình thường) vẫn có thể được sử dụng như một xấp xỉ của yếu tố Bayes (lần này dựa trên một Cauchy trước thay vì bình thường).

Người giới thiệu

• Jeffreys, H. (1961). Lý thuyết xác suất . Nhà xuất bản Đại học Oxford, Oxford, Vương quốc Anh, 3 phiên bản.
• Kass, RE và Wasserman, L. (1995). "Một thử nghiệm Bayes tham khảo cho các giả thuyết lồng nhau và mối quan hệ của nó với tiêu chí Schwarz," Tạp chí của Hiệp hội thống kê Mỹ , 90, 928-934
• Ly, A., Verhagen, AJ, & Wagenmakers, E.-J. (báo chí). Các thử nghiệm giả thuyết nhân tố Bayes mặc định của Harold Jeffreys: Giải thích, mở rộng và ứng dụng trong tâm lý học. Tạp chí Tâm lý học toán học.