Thời điểm / mgf của cosin của vectơ định hướng?

Ai đó có thể đề nghị làm thế nào tôi có thể tính toán khoảnh khắc thứ hai (hoặc toàn bộ hàm tạo khoảnh khắc) của cosin của hai vectơ ngẫu nhiên gaussian , mỗi phân phối là , độc lập với nhau không? IE, thời điểm cho biến ngẫu nhiên sau $x,y$ $\mathcal N (0,\Sigma)$

\frac{⟨ x, y ⟩}{‖ x ‖ ‖ y ‖}

$\frac{\langle x, y\rangle}{\|x\|\|y\|}$

Câu hỏi gần nhất là hàm tạo mô men của sản phẩm bên trong của hai vectơ ngẫu nhiên gaussian có nguồn gốc MGF cho sản phẩm bên trong. Ngoài ra còn có câu trả lời này từ mathoverflow liên kết câu hỏi này với phân phối giá trị riêng của ma trận hiệp phương sai mẫu, nhưng tôi không thấy ngay cách sử dụng chúng để tính toán giây thứ hai.

Tôi nghi ngờ rằng khoảnh khắc thứ hai tỷ lệ với một nửa giá trị bản địa của $\Sigma$ vì tôi nhận được kết quả này thông qua thao tác đại số cho 2 chiều và cũng cho 3 chiều từ đoán và kiểm tra. Đối với giá trị riêng $a,b,c$ thêm tối đa 1, giây thứ hai là:

(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})^{- 2}

$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{-2}$

Sử dụng như sau để kiểm tra số

val1[a_, b_, c_] := (a + b + c)/(Sqrt[a] + Sqrt[b] + Sqrt[c])^2
val2[a_, b_, c_] := Block[{},
  x := {x1, x2, x3};
  y := {y1, y2, y3};
  normal := MultinormalDistribution[{0, 0, 0}, ( {
      {a, 0, 0},
      {0, b, 0},
      {0, 0, c}
     } )];
  vars := {x \[Distributed] normal, y \[Distributed] normal};
  NExpectation[(x.y/(Norm[x] Norm[y]))^2, vars]]

  val1[1.5,2.5,3.5] - val2[1.5,2.5,3.5]

Kiểm tra công thức cho 4 biến (trong giới hạn số):

val1[a_, b_, c_, 
  d_] := (a + b + c + d)/(Sqrt[a] + Sqrt[b] + Sqrt[c] + Sqrt[d])^2
val2[a_, b_, c_, d_] := Block[{},
  x := {x1, x2, x3, x4};
  y := {y1, y2, y3, y4};
  normal := 
   MultinormalDistribution[{0, 0, 0, 
     0}, {{a, 0, 0, 0}, {0, b, 0, 0}, {0, 0, c, 0}, {0, 0, 0, d}}];
  vars := {x \[Distributed] normal, y \[Distributed] normal};
  NExpectation[(x.y/(Norm[x] Norm[y]))^2, vars]]

val1[0.5, 1.5, 2.5, 3.5] - val2[0.5, 1.5, 2.5, 3.5]

— Ba Tư
nguồn

Do tự do quay, vì cosin là bất biến dưới các phép quay, một trong các vectơ có thể được coi là một vectơ đơn vị theo bất kỳ hướng nào thuận tiện nhất. Điều đó sẽ đơn giản hóa vấn đề khá nhiều, đến giây thứ hai của cosin của đối với . EDIT: Trên thực tế, điều này phụ thuộc vào tính đối xứng của .

x \in N (0, Σ)

$x \in \mathcal{N}(0,\Sigma)$

(1, 0, 0, \dots)

$(1,0,0,\ldots)$

Σ

$\Sigma$

— jwimberley

Câu trả lời của trung tâm ở đây có thể được quan tâm: stats.stackexchange.com/a/85977/37483

— ekvall

@ Student001 thực sự, tỷ lệ 1 / n xuất phát trong câu hỏi đó dường như là một trường hợp đặc biệt của công thức này, vì chúng tôi loại bỏ một mức độ tự do bằng cách bình thường hóa dấu vết của ma trận hiệp phương sai thành 1

— Yaroslav Bulatov

Ngoài ra: Lưu ý rằng, wlog, là đường chéo.

Σ

$\Sigma$

— Đức Hồng Y ngày

Tôi đã tìm thấy câu hỏi về phân phối được hỏi ít nhất 3 lần về giá trị chéo, vì vậy hy vọng bài đăng này sẽ phổ biến khái niệm "phân phối bình thường dự kiến" để nó không còn là câu hỏi nữa ! :)

\frac{x}{‖ x ‖}

$\frac{x}{\|x\|}$

— Henry.L

Này Yaroslav, bạn thực sự không cần phải vội vàng chấp nhận câu trả lời của tôi trên MO và được chào đón nhiều hơn để hỏi thêm chi tiết :).

Vì bạn định dạng lại câu hỏi trong 3 chiều, tôi có thể thấy chính xác những gì bạn muốn làm. Trong bài MO tôi nghĩ bạn chỉ cần tính cosin lớn nhất giữa hai biến ngẫu nhiên. Bây giờ vấn đề có vẻ khó khăn hơn.

Đầu tiên, chúng tôi tính toán Gaussian , đây không phải là một công việc tầm thường vì nó thực sự có một tên "dự kiến phân phối bình thường" bởi vì chúng tôi có thể viết lại mật độ đa biến thông thường theo nghĩa của nó tọa độ cực . Và mật độ biên cho có thể thu được trong $\frac{X}{\|X\|}$ $X$ $(\|X\|,\frac{X}{\|X\|})=(r,\boldsymbol{\theta})$ $\boldsymbol{\theta}$

\int_{R^{+}} f (r, θ) d r

$\int_{\mathbb{R}^{+}}f(r,\boldsymbol{\theta})dr$

Một ví dụ quan trọng là trong đó có phân phối , trong đó được cho là có một Gaussian bình thường ( hoặc Gaussian góc hoặc bù bình thường ) phân phối. [Mardia & Peter] tr.46 $x$ $N_2(\mu,\Sigma)$ $\|x\|^{-1}x$

Trong bước này, chúng ta có thể có được các bản phân phối cho , và do đó mật độ khớp của chúng do tính độc lập. Đối với hàm mật độ cụ thể của phân phối chuẩn dự kiến, xem [Mardia & Peter] Chap 10. hoặc [2] Phương trình (4) hoặc [1]. (Lưu ý rằng trong [2] họ cũng giả sử một dạng ma trận hiệp phương sai đặc biệt ) $\mathcal{PN}_{k}$ $\frac{X}{\|X\|}\perp\frac{Y}{\|Y\|}$ $(\frac{X}{\|X\|},\frac{Y}{\|Y\|})$ $\Sigma=\left(\begin{array}{cc} \Gamma & \gamma\\ \gamma' & 1 \end{array}\right)$

Thứ hai, vì chúng tôi đã thu được mật độ khớp của chúng, sản phẩm bên trong của chúng có thể dễ dàng được lấy bằng công thức biến đổi . Cũng xem [3].

(\frac{X}{‖ X ‖}, \frac{Y}{‖ Y ‖}) \mapsto \frac{X}{‖ X ‖} \cdot \frac{Y}{‖ Y ‖}

$(\frac{X}{\|X\|},\frac{Y}{\|Y\|})\mapsto\frac{X}{\|X\|}\cdot\frac{Y}{\|Y\|}$

Miễn là chúng ta tính toán mật độ, khoảnh khắc thứ hai chỉ là vấn đề tích hợp.

Tài liệu tham khảo

[Mardia & Peter] Mardia, Kanti V. và Peter E. Jupp. Thống kê định hướng. Tập 494. John Wiley & Sons, 2009.

[1] Wang, Fangpo và Alan E. Gelfand. "Phân tích dữ liệu định hướng theo phân phối bình thường dự kiến chung." Phương pháp thống kê 10.1 (2013): 113-127.

[2] Hernandez-Stumpfhauser, Daniel, F. Jay Breidt và Mark J. van der Woerd. "Sự phân phối bình thường dự kiến của kích thước tùy ý: mô hình hóa và suy luận Bayes." Phân tích Bayes (2016). https://projecteuclid.org/doad/pdfview_1/euclid.ba/1453211962

[3] Hàm tạo mô men của sản phẩm bên trong của hai vectơ ngẫu nhiên gaussian

— Henry.
nguồn

@YaroslavBulatov Hy vọng điều này rất xứng đáng với tiền thưởng của bạn!

— Henry.L

Câu trả lời tôi đã đăng trên MO không chính xác là những gì OP muốn bởi vì tôi đã nghĩ rằng anh ta đang tìm kiếm góc độ chính tắc. lỗi của tôi.

— Henry.L

Bạn có thể cung cấp một bằng chứng rằng giả sử ma trận hiệp phương sai danh tính là wlog? Nó không rõ ràng đối với tôi. Thật "dễ dàng" để thể hiện tuyên bố của hồng y rằng ma trận đường chéo là wlog, nhưng làm thế nào để bạn thoát khỏi giá trị bản địa?

— ekvall

@ Student001 Nếu , thì có ma trận hiệp phương sai danh tính.

Σ = P^{'} Λ P

$\Sigma=P'\Lambda P$

P X

$PX$

— Henry.L

Không, nếu là phân rã phổ của , thì là ma trận hiệp phương sai , không cần phải là danh tính, vì vậy ít nhất bước đó không biện minh cho thể nhận xét cuối cùng của bạn , Tôi không chắc.

P^{'} Λ P

$P'\Lambda P$

Σ

$\Sigma$

P X

$PX$

Λ

$\Lambda$

Σ = I

$\Sigma = I$

— ekvall