Hàm tạo mô men của tích trong của hai vectơ ngẫu nhiên gaussian

Ai có thể xin đề nghị làm thế nào tôi có thể tính toán chức năng tạo ra khoảnh khắc của sản phẩm bên trong của hai vectơ ngẫu nhiên Gaussian, mỗi phân phối như , độc lập với nhau? Có một số kết quả tiêu chuẩn có sẵn cho điều này? Bất kỳ con trỏ được đánh giá cao. $\mathcal N(0,\sigma^2)$

— cấm
nguồn

Trước tiên hãy địa chỉ trường hợp . Cuối cùng là (dễ) khái quát một cách độc đoán . $\Sigma = \sigma\mathbb{I}$ $\Sigma$

Bắt đầu bằng cách quan sát các sản phẩm bên trong là tổng của các biến iid, mỗi người trong số họ là sản phẩm của hai độc lập bình thường variates, do đó làm giảm các câu hỏi để tìm MGF của sau này, vì MGF của một khoản tiền là sản phẩm của mgfs. $(0,\sigma)$

Có thể tìm thấy mgf bằng cách tích hợp, nhưng có một cách dễ dàng hơn. Khi và là tiêu chuẩn bình thường, $X$ $Y$

X Y = ((X + Y) / 2)^{2} - ((X - Y) / 2)^{2}

$XY = ((X+Y)/2)^2 - ((X-Y)/2)^2$

là một sự khác biệt của hai biến thể Chi-squared quy mô độc lập. (Yếu tố quy mô là vì phương sai của tương đương với ). Bởi vì MGF của một chi-squared variate là $1/2$ $(X\pm Y)/2$ $1/2$ , các MGF củalà $1/\sqrt{1 - 2\omega}$ $((X+Y)/2)^2$ và MGF của là $1/\sqrt{1-\omega}$ $-((X-Y)/2)^2$ . Nhân, chúng tôi thấy rằng mong muốn MGF bằng $1/\sqrt{1+\omega}$ . $1/\sqrt{1-\omega^2}$

(Để tham khảo sau, thông báo rằng khi và được rescaled bởi , cân sản phẩm của họ bởi , từ đâu nên quy mô của , quá.) $X$ $Y$ $\sigma$ $\sigma^2$ $\omega$ $\sigma^2$

Điều này có vẻ quen thuộc: lên đến một số yếu tố không đổi và một dấu hiệu, có vẻ như mật độ xác suất cho phân phối t Student với độ tự do. (Trên thực tế, nếu chúng ta đã từng làm việc với đặc trưng chức năng thay vì mgfs, chúng ta sẽ có được $0$ , mà thậm chí gần gũi hơn với một sinh viên t PDF) Không bao giờ ghi nhớ rằng không có những điều như một t Student với.dfs - tất cả những gì vấn đề là MGF được phân tích trong một khu phố củavà điều này rõ ràng là (theo Định lý nhị thức). $1/\sqrt{1 + \omega^2}$ $0$ $0$

Ngay lập tức, sự phân phối sản phẩm bên trong của các i-Gaussian i này có mgf bằng với sản phẩm của mgf này, $n$ $n$

(1 - ω^{2} σ^{4})^{- n / 2}, n = 1, 2, \dots .

$(1 - \omega^2 \sigma^4)^{-n/2}, \quad n=1, 2, \ldots.$

Bằng cách tìm kiếm chức năng đặc trưng của các bản phân phối Student t, chúng tôi suy ra (với một chút đại số hoặc tích hợp để tìm hằng số chuẩn hóa) mà bản thân PDF được cung cấp bởi

f_{n, σ} (x) = \frac{2^{\frac{1 - n}{2}} | x |^{\frac{n - 1}{2}} K_{\frac{n - 1}{2}} (\frac{| x |}{σ^{2}})}{\sqrt{π} σ^{4} Γ (\frac{n}{2})}

$f_{n,\sigma}(x) = \frac{2^{\frac{1-n}{2}} |x|^{\frac{n-1}{2}} K_{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{|x|}{\sigma ^2}\right)}{\sqrt{\pi } \sigma ^4 \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}$

$K$

$10^5$ $\sigma=1/2$ $n=3$

Biểu đồ

Thật khó để xác nhận độ chính xác của mgf từ một mô phỏng, nhưng lưu ý (từ Định lý Binomial) rằng

(1 + t^{2} σ^{4})^{- 3 / 2} = 1 - \frac{3 σ^{4} t^{2}}{2} + \frac{15 σ^{8} t^{4}}{8} - \frac{35 σ^{12} t^{6}}{16} + \frac{315 σ^{16} t^{8}}{128} + \dots,

$(1 + t^2 \sigma^4)^{-3/2} = 1-\frac{3 \sigma ^4 t^2}{2}+\frac{15 \sigma ^8 t^4}{8}-\frac{35 \sigma ^{12} t^6}{16}+\frac{315 \sigma ^{16} t^8}{128}+\ldots,$

$0$ $\sigma=1/2$

 k    mgf           simulation/k!
 2    0.09375       0.09424920
 4    0.00732422    0.00740436
 6    0.00053406    0.00054128
 8    0.00003755    0.00003674
10    2.58 e-6      2.17 e-6

Như dự kiến, những khoảnh khắc cao của mô phỏng sẽ bắt đầu khởi hành từ những khoảnh khắc được đưa ra bởi mgf; nhưng ít nhất cho đến phút thứ mười, có một thỏa thuận tuyệt vời.

$n=2$

$\Sigma$ $\sigma_1^2, \sigma_2^2, \ldots, \sigma_d^2$ $0 \le d \le n$

{(\prod_{i = 1}^{d} (1 - ω^{2} σ_{i}^{4}))}^{- 1 / 2} .

$\left(\prod_{i=1}^d (1 - \omega^2\sigma_i^4)\right)^{-1/2}.$

$\Sigma$

(\begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{8} \\ \frac{1}{2} & 1 & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{8} & - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{8} \\ \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{8} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{array} \right)$

và tính toán rằng giá trị riêng của nó là

(σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}, σ_{3}^{2}) = (\frac{1}{16} (17 + \sqrt{65}), \frac{1}{16} (17 - \sqrt{65}), \frac{3}{8}) \approx (1.56639, 0.558609, 0.375) .

$\left(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \sigma_3^2\right) = \left(\frac{1}{16} \left(17+\sqrt{65}\right),\frac{1}{16} \left(17-\sqrt{65}\right),\frac{3}{8}\right)\approx \left(1.56639,0.558609,0.375\right).$

$10^6$ $X_i$ $(0,\Sigma)$ $10^6$ $Y_i$ $10^6$ $X_i\cdot Y_i$ $-12$ $15$

Biểu đồ và PDF

Như trước đây, thỏa thuận là tuyệt vời. Hơn nữa, những khoảnh khắc rất phù hợp cho đến phần tám và khá hợp lý ngay cả ở phần mười:

 k    mgf           simulation/k!
 2     1.45313       1.45208
 4     2.59009       2.59605
 6     5.20824       5.29333
 8    11.0994       11.3115
10    24.4166       22.9982

Phụ lục

(Đã thêm ngày 9 tháng 8 năm 2013.)

$f_{n,\sigma}$ $0$ $0$ $\sigma^2$ $n/2$

— whuber
nguồn

Σ

$\Sigma$

Tôi đã thêm một phần mới để cung cấp một số chi tiết (dễ dàng) của việc khái quát hóa này, để làm rõ rằng không có gì mới liên quan ở đây. Bạn cũng có thể sử dụng các thuộc tính cơ bản của mgfs để viết ra mgf trong trường hợp dữ liệu có nghĩa là khác không, do đó giải quyết vấn đề một cách tổng quát.

— whuber