Cách tạo chuỗi markov với phân phối biên gamma và hệ số AR (1) là

Tôi muốn tạo ra một chuỗi thời gian tổng hợp. Chuỗi thời gian cần phải là một chuỗi markov với phân phối biên gamma và tham số AR (1) của . Tôi có thể làm điều này bằng cách đơn giản sử dụng phân phối gamma làm thuật ngữ nhiễu trong mô hình AR (1) hay tôi cần sử dụng cách tiếp cận tinh vi hơn?$\rho$

Người ta có thể đoán (ban đầu tôi cũng vậy) rằng có, nhưng quá trình AR (1) sẽ có các tham số mới. Đối với hình dạng và tỷ lệ , hãy để . Viết .s g t ~ Γ ( một , s ) ~ g t = g t - E ( g t$a$$s$$g_t\sim \Gamma(a,s)$$\tilde{g}_t=g_t-E(g_t)$

Sau đó, một AR (1) tiến hành trong , cũng có thể được viết là Gọi lại và . Theo thuộc tính của AR (1) , và Giải hệ thống phương trình của hai thời điểm đầu tiên của phân phối gamma cho hai tham số của nó mang lại các tham số hình dạng mới của , và .y t = ρ y t - 1 + g t y t = E ( g t ) + ρ y t - 1 + ˜ g t E ( g t ) = a s V a r ( g t ) = a s 2 E ( y t ) = a $g_t$$y_t=\rho y_{t-1}+g_t$

Tuy nhiên, đối số này không đầy đủ vì nó không cho thấy thực sự là . Về cơ bản, hãy viết ra đại diện để có thể được xem như là một loạt các gamma hạ thấp trọng số Việc đọc các bài đăng của tôi như thế này (cũng xem các câu trả lời gần đây khác) cho thấy rằng đây không phải là một biến thể gamma. Γ M A ( ∞ ) y t = a $y_t$$\Gamma$$MA(\infty)$y

Điều đó nói rằng, một mô phỏng nhỏ cho thấy rằng phương pháp này mang lại một xấp xỉ khá tốt:

n <- 50000

shape.u <- 2
scale.u <- 1
u <- rgamma(n,shape=shape.u,scale=scale.u)

rho <- 0.75
y <- arima.sim(n=n, list(ar=rho), innov = u)
hist(y, col="lightblue", freq = F, breaks = 40)

(Theoretical.mean <- shape.u*scale.u/(1-rho))
mean(y)
(Theoretical.Variance <- shape.u*scale.u^2/(1-rho^2))
var(y)

shape.y <- Theoretical.mean^2/Theoretical.Variance
scale.y <- Theoretical.Variance/Theoretical.mean

grid <- seq(0,15,0.05)  
lines(grid,dgamma(grid,shape=shape.y,scale=scale.y))

Bây giờ tôi có câu trả lời cho câu hỏi này tôi đặt ra, nhưng nó dẫn tôi đến một câu hỏi khác.

Vì vậy, đầu tiên, giải pháp như sau:

Đối với Chuỗi Markov cố định có phân phối biên , hàm mật độ xác suất của tại được cho bởi:P t$\Gamma[\alpha, p]$$P_t$$x$

$f_{P_t}[x] = \frac{x^{p-1}\exp[-x/\alpha]}{\alpha^p\Gamma[p]} \quad x \geq 0$

thì pdf có điều kiện của tại cho $ P_t = u là:$P_{t+1}$$x$

$f_{P_{t+1}|P_t}[x|u]=\frac{1}{\alpha(1-\rho)\rho^{(p-1)/2}}\left[\frac{x}{u}\right]^{(p-1)/2}\exp\left[-\frac{x+\rho u}{\alpha(1-\rho)}\right]I_{p-1}\left[\frac{2\sqrt{\rho x u}}{\alpha(1-\rho)}\right]$

trong đó biểu thị chức năng Bessel đã sửa đổi. Điều này cung cấp Chuỗi Markov với phân phối biên gamma và cấu trúc tương quan AR trong đó là .$I_\nu$$\rho(1)$$\rho$

Thông tin chi tiết về điều này được đưa ra trong một bài báo xuất sắc của David Warren, được xuất bản năm 1986 trên Tạp chí Thủy văn, "Skewness chảy ra trong các hồ chứa tuyến tính không theo mùa với dòng chảy phân phối gamma" (Tập 85, tr127-137; http: // www.scTHERirect.com/science/article/pii/0022169486900806# ).

Điều này thật tuyệt, vì nó trả lời câu hỏi ban đầu của tôi, tuy nhiên, các hệ thống tôi muốn đại diện với bản PDF này yêu cầu tạo ra chuỗi tổng hợp. Nếu các tham số hình dạng và tỷ lệ của phân phối lớn, thì điều này là đơn giản. Tuy nhiên, nếu tôi muốn các tham số nhỏ thì tôi không thể tạo ra một chuỗi với các đặc điểm phù hợp. Tôi đang sử dụng MATLAB để làm điều này và mã như sau:

% specify parameters for distribution
p = 0.05;
a = 0.5;

% generate first value
u = gamrnd(p,a);

$ keep a version of the margins pdf
x = 0.00001:0.00001:6;

f = (x.^(p-1)).*(exp(-x./a))./((a.^p).*gamma(p));

% specify the correlation structure
rho = 0.5;

% store the first value
input(1,1) = u;

% generate 999 other cvalues using the conditional distribution
for i = 2:1:999

    i
    z = (2./(a.*(1-rho))).*sqrt(rho.*x.*u);

    PDF = (1./a).*(1./(1-rho)).*(rho.^(-(p-1)./2)).*((x./u).^((p-1)./2)).*...
           exp(-(x+rho.*u)./(a.*(1-rho))).*besseli(p-1,z);

    ycdf = cumsum(PDF,'omitnan')/sum(PDF,'omitnan');

    rn = rand;
    u = x(find(ycdf>rn,1));
    input(i,1) = u;

end

Nếu tôi sử dụng số lượng lớn hơn nhiều cho các tham số phân phối gamma thì biên sẽ xuất hiện, nhưng tôi cần sử dụng các giá trị nhỏ. Bất kỳ suy nghĩ về cách tôi có thể làm điều này?

Có một số cách để có được quy trình Markov đặt hàng đầu tiên với tỷ lệ lợi nhuận gamma. Một tài liệu tham khảo rất hay về chủ đề này là bài báo của GK Grunwald, RJ Hyndman và LM Tedesko: Một quan điểm thống nhất về các mô hình AR (1) .

Như bạn sẽ thấy, "hình thức đổi mới" cổ điển không phải là cách dễ nhất để chỉ định chuyển đổi Markov , trừ khi được lấy ngẫu nhiên. Sử dụng phân phối được lựa chọn tốt; Beta cho và Gamma cho , người ta có thể có được tỷ lệ gamma.$y_t = \phi y_{t-1} + \varepsilon_t$$p(y_t \, \vert \, y_{t-1})$$\phi$$\phi$$\varepsilon_t$

Một quy trình AR (1) liên tục nổi tiếng với lề Gamma là quy trình xử lý tiếng ồn với các bước theo cấp số nhân, được sử dụng rộng rãi, ví dụ như trong thủy văn và liên quan đến quy trình Poisson. Điều này cũng có thể được sử dụng với lấy mẫu thời gian rời rạc, sau đó nó xuất hiện dưới dạng hệ số ngẫu nhiên AR (1) với phân phối kiểu hỗn hợp cho đổi mới.

Một ý tưởng lấy cảm hứng từ copula sẽ là biến đổi quy trình Gaussian AR (1), giả sử trong đó là trong đó sao cho phân phối biên của cho một quy trình mới trong đó là hàm lượng tử của phân phối gamma và là hàm mật độ chuẩn chuẩn tích lũy.

Mặc dù quá trình kết quả sẽ có thuộc tính Markov, tuy nhiên, sẽ không phải là AR (1), vì chức năng tự tương quan một phần của nó không bị cắt cho độ trễ lớn hơn 1 như đã thấy trong mô phỏng sau:$y_t$

phi <- .5
x <- arima.sim(model=list(ar=phi),n=1e+6,sd=sqrt(1-phi^2))
y <- qgamma(pnorm(x), shape=.1)
par(mfrow=c(2,1))
acf(y)
pacf(y)

Thay vào đó, nếu để là AR (p) với các hệ số phù hợp, thì có lẽ có thể được tạo khoảng AR (1), nghĩa là chọn thứ tự và sao cho nhịp của trở nên đủ nhỏ cho tất cả độ trễ cao hơn 1. Nhưng bây giờ quá trình sẽ không còn thuộc tính Markov nữa.y t p φ 1 , ... , φ p y t y $x_t$$y_t$$p$$\phi_1,\dots,\phi_p$$y_t$$y_t$