Mô phỏng quá trình Gaussian (Ornstein Uhlenbeck) với hàm hiệp phương phân rã theo cấp số nhân

Tôi đang cố gắng tạo ra nhiều bản vẽ (nghĩa là hiện thực hóa) một quy trình Gaussian , với giá trị trung bình 0 và hàm hiệp phương sai . $e_i(t)$ $1\leq t \leq T$ $\gamma(s,t)=\exp(-|t-s|)$

Có cách nào hiệu quả để làm điều này không liên quan đến việc tính toán căn bậc hai của ma trận hiệp phương sai không? Ngoài ra, bất cứ ai cũng có thể đề nghị một gói để làm điều này? $T \times T$ R

— người dùng603
nguồn

Đó là một quy trình đứng yên (trông gần giống với phiên bản đơn giản của quy trình OU). Được lấy mẫu thống nhất?

— Đức hồng y

Các gói phần mềm R mvtnormcó rmvnorm(n, mean, sigma)nơi sigmalà ma trận hiệp phương sai; bạn phải xây dựng ma trận hiệp phương sai cho lấy mẫu / chọn của bạn là chính mình, mặc dù.

t

$t$

— jbowman

@jb Có lẽ là rất lớn, nếu không, OP sẽ không yêu cầu tránh phân rã ma trận (ẩn trong đó ).

T

$T$ rmvnorm

— whuber

@cardinal Tôi đồng ý, đây là một quá trình Gaussian của Ornstein-Uhlenbeck. (Nó sẽ là tuyệt vời nếu các "Ornstein Uhlenbeck" từ khóa có thể được chỉnh sửa vào câu hỏi và / hoặc tiêu đề Nó sẽ nhận được câu hỏi này, lưu lượng truy cập nó xứng đáng.)

— redmoskito

Câu trả lời:

Đúng. Có một thuật toán (thời gian tuyến tính) rất hiệu quả và trực giác của nó xuất phát trực tiếp từ trường hợp được lấy mẫu thống nhất.

Giả sử chúng ta có một phân vùng của như vậy mà . $[0,T]$ $0=t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n = T$

Trường hợp lấy mẫu thống nhất

Trong trường hợp này, chúng ta có trong đó . Đặt biểu thị giá trị của quá trình lấy mẫu rời rạc tại thời điểm . $t_i = i \Delta$ $\Delta = T/n$ $X_i := X(t_i)$ $t_i$

Nó rất dễ dàng để thấy rằng tạo thành một (1) quá trình AR với tương quan . Do đó, chúng ta có thể tạo ra một đường dẫn mẫu cho phân vùng như sau $X_i$ $\rho = \exp(-\Delta)$ $\{X_t\}$ trong đó là iid và .

X_{Tôi + 1} = = ρ X_{Tôi} + \sqrt{1 - ρ^{2}} Z_{Tôi + 1},

$X_{i+1} = \rho X_i + \sqrt{1-\rho^2} Z_{i+1} \>,$

Z_{i}

$Z_i$

N (0, 1)

$\mathcal N(0,1)$

X_{0} = Z_{0}

$X_0 = Z_0$

Trường hợp chung

Sau đó chúng ta có thể tưởng tượng rằng có thể làm điều này cho một phân vùng chung . Đặc biệt, chúng ta hãy và . Chúng tôi có mà $\Delta_i = t_{i+1} - t_i$ $\rho_i = \exp(-\Delta_i)$ Và vì vậy chúng tôi có thể đoán rằng

γ (t_{Tôi}, t_{Tôi + 1}) = = ρ_{Tôi},

$\gamma(t_i,t_{i+1}) = \rho_i \>,$

X_{Tôi + 1} = = ρ_{Tôi} X_{Tôi} + \sqrt{1 - ρ_{Tôi}^{2}} Z_{Tôi + 1} .

$X_{i+1} = \rho_i X_i + \sqrt{1-\rho_i^2} Z_{i+1} \>.$

$\mathbb E X_{i+1} X_i = \rho_i$

E X_{Tôi} X_{Tôi - ℓ} = = E (E (X_{Tôi} X_{Tôi - ℓ} | X_{Tôi - 1})) = = ρ_{Tôi - 1} E X_{Tôi - 1} X_{Tôi - ℓ} = = \dots = = Π_{k = = 1}^{ℓ} ρ_{Tôi - k},

$\newcommand{\e}{\mathbb E} \e X_i X_{i-\ell} = \e( \e(X_i X_{i-\ell} \mid X_{i-1} )) = \rho_{i-1} \mathbb E X_{i-1} X_{i-\ell} = \cdots = \prod_{k=1}^\ell \rho_{i-k} \>,$

Π_{k = = 1}^{ℓ} ρ_{Tôi - k} = = điểm kinh nghiệm (- Σ_{k = = 1}^{ℓ} Δ_{Tôi - k}) = = điểm kinh nghiệm (t_{Tôi - ℓ} - t_{Tôi}) = = γ (t_{Tôi - ℓ}, t_{Tôi}) .

$\prod_{k=1}^\ell \rho_{i-k} = \exp\Big(-\sum_{k=1}^\ell \Delta_{i-k}\Big) = \exp(t_{i-\ell} - t_i) = \gamma(t_{i-\ell},t_i) \>.$

$\mathcal N(0,1)$ $O(n)$ $n$

NB : Đây là một kỹ thuật lấy mẫu chính xác ở chỗ nó cung cấp một phiên bản được lấy mẫu của quy trình mong muốn với các phân phối chiều hữu hạn chính xác . Điều này trái ngược với các sơ đồ phân biệt Euler (và các loại khác) đối với các SDE tổng quát hơn, phát sinh sai lệch do sự gần đúng thông qua sự rời rạc.

— hồng y
nguồn

n

$n$

T

$T$

Δ

$\Delta$

0.1

$0.1$

@Yves: Cảm ơn ý kiến của bạn. Để rõ ràng, quy trình tôi đã phác thảo đưa ra nhận thức chính xác về quy trình thời gian liên tục được lấy mẫu trên phân vùng tương ứng; đặc biệt, không có lỗi phân tách như trong xấp xỉ sơ đồ Euler điển hình cho các SDE tổng quát hơn. Cholesky nghịch đảo, như được thể hiện trong cấu trúc trong câu trả lời có các thuật ngữ khác không chỉ trên đường chéo và đường chéo thấp hơn, do đó, nó đơn giản hơn một chút so với đường chéo.

— Đức hồng y

γ (t_{i}, t_{j}) = \exp (α | t_{i} - t_{j} |)

$\gamma(t_i, t_j) = \exp(\alpha \; |t_i - t_j|)$

Tính toán ma trận hiệp phương sai đã phân tách bằng cách phân tách Cholesky không hoàn chỉnh hoặc bất kỳ kỹ thuật phân rã ma trận nào khác. Ma trận phân tách phải là TxM, trong đó M chỉ là một phần của T.

http://en.wikipedia.org/wiki/Incomplete_Cholesky_factorization

— Steven
nguồn

X_{i}

$X_i$

Thuật toán là một chút quá dài để tóm tắt. Bạn có thể tìm thấy một mô tả xuất sắc ở đây: Kernel ICA , trang 20. Lưu ý rằng thuật toán này chưa hoàn chỉnh , có nghĩa là nó không tính toán toàn bộ phân tách mà là xấp xỉ (do đó nhanh hơn nhiều). Tôi đã xuất bản mã cho thuật toán này trong hộp công cụ KMBOX, bạn có thể tải xuống tại đây: km_kernel_icd .

— Steven