Yêu cầu xác minh một kết quả ma trận đơn giản

Giả sử là một vectơ của các biến ngẫu nhiên. Sau đó, vui lòng xác minh rằng .$X$$k\times 1$$EX^{\prime}(EXX^{\prime})^{-1}EX\leq 1$

Khi đây là một kết quả nổi tiếng mà . Nhưng làm thế nào tôi sẽ yêu cầu điều này nói chung?$K=1$$(EX)^{2}\leq EX^{2}$

Hãy và . Sau đó, chúng ta cần hiển thị $\mu = EX$$\Sigma = E(XX^T) - \mu\mu^T$

$$\mu^T (\Sigma + \mu\mu^T)^{-1}\mu \leq 1.$$

Hãy để . Sử dụng bổ đề xác định ma trận và sự tồn tại của chúng ta có thể thấy rằng tồn tại chính xác khi . Nếu chúng ta đã hoàn thành, do đó, chúng ta giả sử .$C = E(XX^T)$$\Sigma = C - \mu\mu^T$$C^{-1}$$\Sigma^{-1}$$\mu^T C^{-1}\mu\neq 1$$\mu^T C^{-1} \mu = 1$$\mu^T C^{-1}\mu\neq 1$

Sau đó, theo công thức Sherman thì Morrison, chúng ta có vì là PSD nên .

$$\mu^T (\Sigma + \mu\mu^T)^{-1}\mu = \mu^T \Sigma^{-1}\mu - \mu^T \left(\frac{\Sigma^{-1}\mu\mu^T\Sigma^{-1}}{1 + \mu^T \Sigma^{-1}\mu}\right)\mu = c - \frac{c^2}{1+c} = \frac{c}{1+c} < 1$$ $\Sigma^{-1}$$c \geq 0$