Tại sao ln [E (x)]> E [ln (x)]?

Chúng tôi đang xử lý phân phối hợp lý trong một khóa học tài chính và sách giáo khoa của tôi chỉ nói rằng điều này là đúng, điều mà tôi thấy khó chịu vì nền tảng toán học của tôi không mạnh lắm nhưng tôi muốn có trực giác. Bất cứ ai có thể chỉ cho tôi tại sao đây là trường hợp?

Nhớ lại rằng $e^x\geq 1+x$

$E\left[e^{Y}\right]=e^{ E(Y)} E\left[e^{Y- E(Y)}\right]\geq e^{E(Y)} E\left[1+{Y- E(Y)}\right] = e^{E(Y)}$

$e^{E(Y)}\leq E\left[e^{Y}\right]$

$Y=\ln X$

$e^{E(\ln X)}\leq E\left[e^{\ln X}\right]=E(X)$

bây giờ lấy nhật ký của cả hai bên

$E[\ln (X)]\leq\ln[E(X)]$

Cách khác:

$\ln X = \ln X - \ln \mu+\ln\mu \qquad$$\mu=E(X)$

$\qquad= \ln(X/\mu)+\ln \mu$

$\qquad= \ln[ \frac{X-\mu}{\mu} + 1]+\ln \mu$

$\qquad \leq \frac{X-\mu}{\mu} + \ln \mu\qquad$$\ln(t+1)\leq t$

Bây giờ hãy kỳ vọng của cả hai bên:

$E[\ln(X)] \leq \ln\mu$

Một minh họa (hiển thị kết nối với bất bình đẳng của Jensen):

( Ở đây vai trò của X và Y được hoán đổi để chúng khớp với trục của cốt truyện; kế hoạch tốt hơn sẽ hoán đổi vai trò của chúng ở trên để cốt truyện phù hợp hơn với đại số. )

Các đường màu đặc đại diện cho phương tiện trên mỗi trục.

$X$$Y$$Y$