Sử dụng thực tế các chức năng tạo mô men

Trong hầu hết các khóa học lý thuyết xác suất cơ bản, các hàm tạo mô men (mgf) đã nói của bạn rất hữu ích để tính toán các khoảnh khắc của một biến ngẫu nhiên. Đặc biệt là sự kỳ vọng và phương sai. Bây giờ trong hầu hết các khóa học, các ví dụ họ cung cấp cho kỳ vọng và phương sai có thể được giải quyết bằng cách sử dụng các định nghĩa.

Có bất kỳ ví dụ thực tế nào về phân phối trong đó việc tìm kiếm kỳ vọng và phương sai khó thực hiện phân tích và vì vậy việc sử dụng mgf là cần thiết? Tôi đang hỏi bởi vì tôi cảm thấy mình không thể hiểu chính xác lý do tại sao chúng quan trọng trong các khóa học cơ bản.

Bạn đúng rằng mgf dường như không có chút động lực trong các khóa học giới thiệu. Vì vậy, một số ví dụ về việc sử dụng. Đầu tiên, trong các vấn đề xác suất rời rạc, chúng ta thường sử dụng hàm tạo xác suất, nhưng đó chỉ là một cách đóng gói khác nhau của mgf, xem Sự khác biệt giữa hàm tạo mô men và hàm tạo xác suất là gì? . Pgf có thể được sử dụng để giải quyết một số vấn đề xác suất khó giải quyết bằng cách khác, ví dụ gần đây trên trang web này, xem PMF về số lượng thử nghiệm cần thiết cho hai đầu phân phối hoặc tổng phân phối gamma với là phân phối poisson$N$$N$1 / x x X 1 , X 2 , X 3 X 1 + X 2 d = X 1 + X 3 X 2 d = X 3. Một số ứng dụng không rõ ràng vẫn có thể được sử dụng trong khóa học giới thiệu, được đưa ra trong Kỳ vọng đối ứng của một biến , Giá trị kỳ vọng là khi tuân theo phân phối Beta$1/x$$x$ và Đối với RVs độc lập , ngụ ý ? $X_1,X_2,X_3$$X_1+X_2\stackrel{d}{=}X_1+X_3$$X_2\stackrel{d}{=}X_3$.

Một cách sử dụng khác là xây dựng các xấp xỉ phân phối xác suất, một ví dụ là xấp xỉ điểm yên, lấy điểm khởi đầu là logarit tự nhiên của mgf, được gọi là hàm tạo tích lũy. Xem làm thế nào gần đúng yên ngựa hoạt động? và đối với một số ví dụ, hãy xem Giới hạn tổng các biến ngẫu nhiên Poisson và Tổng biến của các biến ngẫu nhiên Gamma

Cũng có thể sử dụng Mgf để chứng minh các định lý giới hạn, ví dụ: giới hạn poisson của phân phối nhị thức Hiểu trực giác tại sao phân phối Poisson là trường hợp giới hạn của phân phối nhị thức có thể được chứng minh thông qua mgf.

Có thể tìm thấy một số ví dụ (bộ bài tập với các giải pháp) về việc sử dụng Actuarial của Actfarial tại đây: https://facemony.math.illinois.edu/~hildebr/370/370mgfprobolssol.pdf Tìm kiếm trên internet với "chức năng tạo khoảnh khắc Actuarial" sẽ cung cấp rất nhiều ví dụ tương tự. Các chuyên gia tính toán dường như đang sử dụng mgf để giải quyết một số vấn đề (phát sinh trong các trường hợp trong tính toán cao cấp) rất khó để giải quyết theo cách khác. Một ví dụ trong phần 3.5 trang 21 và sách về lý thuyết rủi ro chuyên gia tính toán . Một nguồn (ước tính) của mgf cho các ứng dụng như vậy có thể là mgf theo kinh nghiệm (thật kỳ lạ, tôi không thể tìm thấy ngay cả một bài đăng ở đây về các hàm tạo thời điểm thực nghiệm).

Có bất kỳ ví dụ thực tế nào về phân phối trong đó việc tìm kiếm kỳ vọng và phương sai khó thực hiện phân tích và vì vậy việc sử dụng mgf là cần thiết?

Có nhiều vấn đề khó tìm được giá trị trung bình và phương sai khi sử dụng các công thức tiêu chuẩn của chúng dưới dạng tổng / tích phân trên khối lượng / mật độ. Một ví dụ mà điều này khó, nhưng không phải là không thể, là phân phối của bộ sưu tập phiếu giảm giá , có chức năng khối lượng xác suất:

trong đó hàm biểu thị số Stirling của loại thứ hai . Nếu bạn cố gắng sử dụng phương pháp tiêu chuẩn ở đây, bạn sẽ kết thúc với một công thức đệ quy liên quan đến các số Stirling, và điều này rất khó để làm việc. Một phương pháp đơn giản hơn để lấy giá trị trung bình và phương sai là lấy ra hàm tạo tích lũy (logarit của hàm tạo mô men) không còn chứa các số Stirling. Sau đó, tương đối đơn giản để có được các tích lũy của phân phối. Tôi khuyên bạn nên thử bài tập này thông qua cả hai phương pháp để xem ý tôi là gì.$S$