Sự tương đương của (0 + yếu tố | nhóm) và (1 | nhóm) + (1 | nhóm: yếu tố) thông số kỹ thuật hiệu ứng ngẫu nhiên trong trường hợp đối xứng hợp chất

Douglas Bates tuyên bố rằng các mô hình sau là tương đương "nếu ma trận phương sai hiệp phương sai cho các hiệu ứng ngẫu nhiên có giá trị véc tơ có một dạng đặc biệt, được gọi là đối xứng hợp chất" ( slide 91 trong bài trình bày này ):

m1 <- lmer(y ~ factor + (0 + factor|group), data)
m2 <- lmer(y ~ factor + (1|group) + (1|group:factor), data)

Cụ thể Bates sử dụng ví dụ này:

library(lme4)
data("Machines", package = "MEMSS")

m1a <- lmer(score ~ Machine + (0 + Machine|Worker), Machines)
m2a <- lmer(score ~ Machine + (1|Worker) + (1|Worker:Machine), Machines)

với đầu ra tương ứng:

print(m1a, corr = FALSE)

Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: score ~ Machine + (0 + Machine | Worker)
   Data: Machines
REML criterion at convergence: 208.3112
Random effects:
 Groups   Name     Std.Dev. Corr     
 Worker   MachineA 4.0793            
          MachineB 8.6253   0.80     
          MachineC 4.3895   0.62 0.77
 Residual          0.9616            
Number of obs: 54, groups:  Worker, 6
Fixed Effects:
(Intercept)     MachineB     MachineC  
     52.356        7.967       13.917  

print(m2a, corr = FALSE)

Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: score ~ Machine + (1 | Worker) + (1 | Worker:Machine)
   Data: Machines
REML criterion at convergence: 215.6876
Random effects:
 Groups         Name        Std.Dev.
 Worker:Machine (Intercept) 3.7295  
 Worker         (Intercept) 4.7811  
 Residual                   0.9616  
Number of obs: 54, groups:  Worker:Machine, 18; Worker, 6
Fixed Effects:
(Intercept)     MachineB     MachineC  
     52.356        7.967       13.917

Bất cứ ai cũng có thể giải thích sự khác biệt giữa các mô hình và làm thế nào m1để giảm m2(đối xứng hợp chất) theo cách trực quan?

Trong ví dụ này, có ba quan sát cho mỗi sự kết hợp của ba máy (A, B, C) và sáu công nhân. Tôi sẽ sử dụng để biểu thị một n ma trận sắc chiều và 1 n để biểu thị một n vector chiều của những người thân. Giả sử y là vectơ của các quan sát, mà tôi sẽ giả sử được đặt hàng bởi worker sau đó máy sau đó sao chép. Hãy μ là giá trị tương ứng mong đợi (ví dụ như những tác động cố định), và để cho γ là một vector của độ lệch nhóm cụ thể từ các giá trị mong đợi (ví dụ như hiệu ứng ngẫu nhiên). Có điều kiện trên γ , mô hình cho y có thể được viết:$I_n$$n$$1_n$$n$$y$$\mu$$\gamma$$\gamma$$y$

$$y \sim \mathcal{N}(\mu + \gamma, \sigma^2_y I_{54})$$

nơi là "dư" không đúng.$\sigma^2_y$

Để hiểu được cách cấu trúc hiệp phương sai của hiệu ứng ngẫu nhiên gây ra một cấu trúc hiệp phương sai giữa các quan sát, đó là trực quan hơn để làm việc với các đại diện tương đương "bên lề" , trong đó tích hợp trên các hiệu ứng ngẫu nhiên . Hình thức cận biên của mô hình này là,$\gamma$

$$y \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2_y I_{54} + \Sigma)$$

Ở đây, là một ma trận hiệp phương sai điều đó phụ thuộc vào cấu trúc của γ (ví dụ như "thành phần sai" tiềm ẩn những tác động ngẫu nhiên). Tôi sẽ đề cập đến Σ là hiệp phương sai "bên lề".$\Sigma$$\gamma$$\Sigma$

Trong bạn m1, những tác động ngẫu nhiên phân hủy như:

$$\gamma = Z \theta$$

Trong trường hợp là một ma trận thiết kế mà các bản đồ hệ số ngẫu nhiên vào quan sát, và θ T = [ θ 1 , Một , θ 1 , B , θ 1 , C ... θ 6 , Một , q 6 , B , θ 6 , C ] là vector 18 chiều các hệ số ngẫu nhiên lệnh của người lao động thì máy, và được phân phối như sau:$Z = I_{18} \otimes 1_3$$\theta^T = [\theta_{1,A}, \theta_{1,B}, \theta_{1,C} \dots \theta_{6,A}, \theta_{6,B}, \theta_{6,C}]$

$$\theta \sim \mathcal{N}(0, I_6 \otimes \Lambda)$$

Dưới đây là hiệp phương sai của các hệ số ngẫu nhiên. Giả định của đối xứng phức hợp phương tiện đó Λ có hai thông số, mà tôi sẽ gọi σ q và τ , và cấu trúc:$\Lambda$$\Lambda$$\sigma_\theta$$\tau$

$$\Lambda = \left[\begin{matrix} \sigma^2_\theta + \tau^2 & \tau^2 & \tau^2 \\ \tau^2 & \sigma^2_\theta + \tau^2 & \tau^2 \\ \tau^2 & \tau^2 & \sigma^2_\theta + \tau^2 \end{matrix}\right]$$

(Nói cách khác, ma trận tương quan tiềm ẩn có tất cả các yếu tố trên tập offdiagonal để cùng giá trị.)$\Lambda$

$\Sigma = Z (I_6 \otimes \Lambda) Z^T$$\sigma^2_\theta + \tau^2 + \sigma^2_y$$i, j$$u, v$

$$\mathrm{cov}(y_{i,u}, y_{j,v}) = \begin{cases} 0 & \text{if } i\neq j \\ \tau^2 & \text{if } i=j, u\neq v \\ \sigma^2_\theta + \tau^2 & \text{if } i=j, u=v \end{cases}$$

Đối với bạn m2, các hiệu ứng ngẫu nhiên phân hủy thành:

$$\gamma = Z \omega + X \eta$$

$X = I_6 \otimes 1_9$$\omega^T = [\omega_{1,A}, \omega_{1,B}, \omega_{1,C}, \dots, \omega_{6,A}, \omega_{6,B}, \omega_{6,C}]$$\eta^T = [\eta_{1}, \dots, \eta_{6}]$

$$\eta \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_\eta I_6)$$ $$\omega \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_\omega I_{18})$$ $\sigma_\eta^2, \sigma_\omega^2$

m2$\Sigma = \sigma^2_\omega Z Z^T + \sigma^2_\eta X X^T$$\sigma^2_\omega + \sigma^2_\eta + \sigma^2_y$$i, j$$u, v$

$$\mathrm{cov}(y_{i,u}, y_{j,v}) = \begin{cases} 0 & \text{if } i\neq j \\ \sigma_\eta^2 & \text{if } i=j,u\neq v \\ \sigma^2_\omega + \sigma^2_\eta & \text{if } i=j,u=v \end{cases}$$

$\sigma^2_\theta \equiv \sigma^2_\omega$$\tau^2 \equiv \sigma^2_\eta$ m1

Brevity không phải là điểm mạnh của tôi: đây hoàn toàn chỉ là một cách nói dài dòng, phức tạp rằng mỗi mô hình có hai tham số phương sai cho các hiệu ứng ngẫu nhiên và chỉ là hai cách viết khác nhau của cùng một mô hình "cận biên".

Trong mã ...

sigma_theta <- 1.8
tau         <- 0.5
sigma_eta   <- tau
sigma_omega <- sigma_theta
Z <- kronecker(diag(18), rep(1,3))
rownames(Z) <- paste(paste0("worker", rep(1:6, each=9)), 
                     rep(paste0("machine", rep(1:3, each=3)),6))
X <- kronecker(diag(6), rep(1,9))
rownames(X) <- rownames(Z)
Lambda <- diag(3)*sigma_theta^2 + tau^2

# marginal covariance for m1:
Z%*%kronecker(diag(6), Lambda)%*%t(Z)
# for m2:
X%*%t(X)*sigma_eta^2 + Z%*%t(Z)*sigma_omega^2