Nếu

Đối với biến ngẫu nhiên liên tục , nếu là hữu hạn, thì ? $X$ $E(|X|)$ $\lim_{n\to\infty}n P(|X|>n)=0$

Đây là một vấn đề tôi tìm thấy trên internet, nhưng tôi không chắc liệu nó có giữ được hay không.

Tôi biết rằng giữ bởi bất đẳng thức Markov, nhưng tôi không thể chỉ ra rằng nó đi về 0 khi đi đến vô cùng. $n P(|X|>n)<E(|X|)$ $n$

probability expected-value probability-inequalities

— 456 123
nguồn

(1) Không cần liên tục. (2) Thể hiện kỳ vọng là một tích phân của hàm tồn tại

Pr (| X | > n)

$\Pr(|X|\gt n)$ . (3) Xem xét các yếu tố bất định: một giới hạn khác không ngụ ý gì về kỳ vọng?

— whuber

@whuber tập thể dục đẹp! Tôi nghĩ rằng tôi đã có một câu trả lời đúng, nhưng vì nó giống như vậy self-study, tôi không nghĩ mình nên viết nó ở đây. Tôi có thể tạo một phòng trò chuyện riêng tư và cho bạn xem giải pháp của mình để bạn có thể cho tôi biết nếu nó đúng không?

— DeltaIV

@Delta Đây là một trường hợp mà việc đăng câu trả lời của bạn có vẻ tốt đối với tôi: OP có một câu hỏi phụ cụ thể và không xuất hiện chỉ để troll cho câu trả lời bài tập về nhà.

— whuber

@whuber điều này nhắc nhở tôi về sự không tồn tại của phân phối đồng đều trên các số tự nhiên - điều này có nghĩa là trong khi không cần sự liên tục ở đây, thì tính gây nghiện có thể đếm được ?

— Bill Clark

Câu trả lời:

Nhìn vào chuỗi các biến ngẫu nhiên được xác định bằng cách chỉ giữ lại các giá trị lớn của:Rõ ràng là , vì vậy Lưu ý rằng vàcho mỗi . Vì vậy, LHS của (1) có xu hướng bằng không bởi sự hội tụ thống trị . $\{Y_n\}$ $|X|$

Y_{n} := | X | I (| X | > n) .

$Y_n:=|X|I(|X|>n).$

Y_{n} \geq n I (| X | > n)

$Y_n\ge nI(|X|>n)$

\begin{matrix} (1) & E (Y_{n}) \geq n P (| X | > n) . \end{matrix}

$E(Y_n)\ge nP(|X|>n).\tag1$

Y_{n} \to 0

$Y_n\to0$

| Y_{n} | \leq | X |

$|Y_n|\le |X|$

n

$n$

— ông_chat
nguồn

Tôi nghĩ bạn có nghĩa là "RHS" trong câu cuối cùng của bạn, nếu không, công việc tốt!

— jbowman

@jbowman, s / he có nghĩa là theo định lý hội tụ thống trị (lưu ý rằng một mình là không đủ để đi đến kết luận đó). Tôi đã thêm liên kết tới DCT trên wikipedia

E Y_{n} \to 0

$\mathbb{E}{Y_n} \to 0$

Y_{n} \to 0

$Y_n \to 0$

— P.Windridge

@ P.Windridge - Tôi đã không đọc đủ cẩn thận và liên kết "Vì vậy LHS" với phương trình 1, thay vì với câu trước đó. Lỗi của tôi.

— jbowman

Lưu ý rằng là một biến ngẫu nhiên. theo nghĩa nào?

Y_{n}

$Y_n$

Y_{n} \to 0

$Y_n\rightarrow 0$

— Đức Giê

@YHH Sự hội tụ theo chiều hướng: Với mọi , là .

ω

$\omega$

Y_{n} (ω) \to 0

$Y_n(\omega)\to0$

n \to \infty

$n\to\infty$

— grand_chat

Tôi có thể cung cấp một câu trả lời cho một biến ngẫu nhiên liên tục (chắc chắn có một câu trả lời tổng quát hơn). Đặt: $Y=|X|$

E [Y] = \int_{0}^{\infty} y f_{Y} (y) d y = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + \int_{n}^{\infty} y f_{Y} (y) d y \geq \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n \int_{n}^{\infty} f_{Y} (y) d y = \dots + n (F_{Y} (\infty) - F_{Y} (n)) = \dots + n (1 - F_{Y} (n)) = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n P (Y > n)

$\mathbb{E}[Y]=\int_0^\infty yf_Y(y)\text{d}y=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+\int_n^\infty yf_Y(y)\text{d}y\ge\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+n\int_n^\infty f_Y(y)\text{d}y=\dots+n\left(F_Y(\infty)-F_Y(n)\right)=\dots+n(1-F_Y(n))=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+nP(Y\gt n)$

Như vậy

0 \leq n P (Y > n) \leq (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y)

$0\leq nP(Y\gt n)\le\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)$

Bây giờ, vì theo giả thuyết là hữu hạn, chúng ta có điều đó $\mathbb{E}[Y]$

lim_{n \to \infty} (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y) = E [Y] - lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y = E [Y] - E [Y] = 0

$\lim_{n\to \infty}\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)=\mathbb{E}[Y]-\lim_{n\to \infty}\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y=\mathbb{E}[Y]-\mathbb{E}[Y]=0$

Sau đó

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to \infty}nP(Y\gt n)=0$

theo định lý sandwich.

— DeltaIV
nguồn

@ P.Windridge bạn có thể kiểm tra xem việc sử dụng định lý hội tụ thống trị của tôi là chính xác không? Tôi có một số lượng, , không âm và không lớn hơn một đại lượng có giới hạn là 0, do đó trong ứng dụng của tôi về định lý. Cảm ơn

n P (Y > n)

$nP(Y>n)$

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to\infty}nP(Y>n)=0$

— DeltaIV

@ DeltaIV- trước tiên, để làm rõ, " và ngụ ý " KHÔNG phải là định lý hội tụ thống trị (thường được gọi là định lý sandwich).

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

$a_n \le b_n \le c_n$

a_{n}, c_{n} \to l

$a_n, c_n \to l$

b_{n} \to l

$b_n\to l$

— P.Windridge

@ DeltaIV- không, bạn không cần DCT, MCT là đủ (điều này bao gồm khả năng , nhưng sau đó bạn không thể nói !)

E Y = \infty

$\mathbb{E} Y = \infty$

E Y - E Y = \infty - \infty = 0

$\mathbb{E} Y -\mathbb{E} Y = \infty - \infty = 0$

— P.Windridge

Không vấn đề gì. Btw, tôi biết là hữu hạn bởi giả định, tôi chỉ giải thích nơi bạn sử dụng giả định đó (bản thân MCT không yêu cầu nó, không giống như DCT, mà @grand_chat đã sử dụng và tôi hy vọng bạn đã xem :)).

E [Y]

$E[Y]$

— P.Windridge

@ P.Windridge ah, ok! Tôi đã không nhận thấy rằng MCT không yêu cầu giả định. Tôi đã có một cái nhìn về DCT, đó là lý do tại sao tôi nghĩ rằng tôi không cần nó cho bằng chứng của mình :) Tôi phải trả giá khi không được dạy về hội nhập Lebesgue tại trường đại học ... vì lý do này, tôi đã quen làm phép tính xác suất theo các pdf, thay vì về các biện pháp.

— DeltaIV

$E\left | X \right |< \infty \Leftrightarrow E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\rightarrow 0$ (có thể tích hợp đồng nhất)

$E\left | X \right |=E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}+E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |\leq n}$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\leq E\left | X \right |< \infty$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\geq nE\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}=nP\left ( \left | X \right |>n\right )$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n} \rightarrow 0 \Rightarrow nP\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0 \Rightarrow P\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0$

tức là $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} P\left ( \left | X \right |>n\right )=0$

— Aldehu
nguồn