Giá trị log dự kiến của phân phối hàm mũ phi tập trung

Giả sử không phân bố theo cấp số nhân với vị trí và tỷ lệ . Sau đó, . $X$ $k$ $\lambda$ $E(\log(X))$

Tôi biết rằng với , câu trả lời là trong đó là hằng số Euler-Mascheroni. Còn khi thì sao? $k=0$ $-\log(\lambda) - \gamma$ $\gamma$ $k > 0$

mean expected-value integral

— Neil G
nguồn

Bạn đã thử tích hợp trong Mathematica chưa?

Tôi giả sử (khi mật độ được viết là ,) nếu không với xác suất> 0, với hậu quả khủng khiếp cho .

k > 0

$k > 0$

λ \exp {- λ (x - k)}

$\lambda \exp\{-\lambda(x-k)\}$

x < 0

$x < 0$

E \log x

$\mathbb{E}\log x$

— jbowman

Tôi đã nhận . Mathematica nhanh hơn nếu bạn sử dụng lệnh để chỉ định không gian tham số.

E [\log (X)] = e^{k λ} Γ (0, k λ) + \log (k)

${\mathbb E}[\log(X)]=e^{k\lambda}\Gamma(0,k\lambda)+\log(k)$ Assumptions

Hàm gamma không hoàn chỉnh trên có được tính là dạng đóng không? (Đối với tôi, nó không.) Đây chỉ là việc ẩn một cách tích hợp thông qua ký hiệu.

— Đức hồng y

@NeilG Đây là mã Mathicala Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]. Bạn chỉ có thể sao chép nó và dán nó vào tệp .nb. Tôi không chắc liệu Wolfram Alpha có cho phép bao gồm các hạn chế hay không.

Tích phân mong muốn có thể được vật lộn để đệ trình bằng các thao tác vũ phu; ở đây, thay vào đó, chúng tôi cố gắng đưa ra một dẫn xuất thay thế với hương vị xác suất hơn một chút.

Đặt là biến ngẫu nhiên theo cấp số nhân không trung tính với tham số vị trí và tham số tỷ lệ . Khi đó trong đó . $X \sim \mathrm{Exp}(k,\lambda)$ $k > 0$ $\lambda$ $X = Z + k$ $Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

Lưu ý rằng và do đó, sử dụng một thực tế tiêu chuẩn để tính toán kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên không âm , Nhưng, trên kể từ và vì vậy trong đó đẳng thức cuối cùng theo sau thay thế $\log(X/k) \geq 0$

E \log (X / k) = \int_{0}^{\infty} P (\log (X / k) > z) d z = \int_{0}^{\infty} P (Z > k (e^{z} - 1)) d z .

$\newcommand{\e}{\mathbb E}\newcommand{\rd}{\mathrm d}\renewcommand{\Pr}{\mathbb P} \e \log(X/k) = \int_0^\infty \Pr(\log(X/k) > z)\,\rd z = \int_0^\infty \Pr(Z > k(e^z - 1)) \,\rd z \>.$

P (Z > k (e^{z} - 1)) = \exp (- λ k (e^{z} - 1))

$\Pr(Z > k(e^z -1)) = \exp(-\lambda k(e^z - 1))$

z \geq 0

$z \geq 0$

Z \sim E x p (λ)

$Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

E \log (X / k) = e^{λ k} \int_{0}^{\infty} \exp (- λ k e^{z}) d z = e^{λ k} \int_{λ k}^{\infty} t^{- 1} e^{- t} d t,

$\e \log(X/k) = e^{\lambda k} \int_0^\infty \exp(-\lambda k e^z) \, \rd z = e^{\lambda k} \int_{\lambda k}^\infty t^{-1} e^{-t} \,\rd t \>,$

t = λ k e^{z}

$t = \lambda k e^z$ , lưu ý rằng .

d z = d t / t

$\rd z = \rd t / t$

Định nghĩa về kích thước bên phải của màn hình cuối cùng chỉ là theo định nghĩa và vì vậy như được xác nhận bởi tính toán Mathicala của @ Procrastinator trong các nhận xét cho câu hỏi. $\Gamma(0,\lambda k)$

E \log X = e^{λ k} Γ (0, λ k) + \log k,

$\e \log X = e^{\lambda k} \Gamma(0,\lambda k) + \log k \>,$

NB : Ký hiệu tương đương cũng thường được sử dụng thay cho . $\mathrm E_1(x)$ $\Gamma(0,x)$

— hồng y
nguồn

+1 @Michael Chernick Có vẻ như không phải ai cũng lười biếng;).

Điều này thực sự tuyệt vời. Tôi chỉ muốn chỉ ra cho bất kỳ ai thực hiện điều này rằng nhiều triển khai của hàm gamma không hoàn chỉnh sẽ hạn chế tham số đầu tiên là hoàn toàn tích cực. Danh tính giải quyết vấn đề nhỏ đó.

Γ (0, z) = - Ei (- z)

$\Gamma(0, z) = -\operatorname{Ei}(-z)$

— Neil G

Giá trị log dự kiến ​​của phân phối hàm mũ phi tập trung

Giá trị log dự kiến của phân phối hàm mũ phi tập trung