Thật bất ngờ

Bất kỳ chuyên gia Monte Carlo của chúng tôi có thể giải thích những kỳ vọng "bất ngờ" ở cuối câu trả lời này không?

Ex post facto tóm tắt các câu hỏi khác / câu trả lời: nếu là IID biến ngẫu nhiên và sự mong đợi tồn tại, sau đó một đơn giản tranh cãi đối xứng cho thấy , nhưng một thí nghiệm Monte Carlo với dường như mâu thuẫn với đề xuất này. $X_1,\dots,X_n$ $\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]$ $\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]=1$ $X_i\sim\mathrm{N}(0,1)$

x <- matrix(rnorm(10^6), nrow = 10^5)
mean(x[,2]/rowMeans(x))

[1] 5.506203

— thiền học
nguồn

$\mathbb{E}[X_1/(X_1+X_2)]$ $X_1/X_2$

\begin{aligned} E [X_{1} / (X_{1} + X_{2})] & = E [1 / (1 + X_{2} / X_{1})] \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{1 + y} \frac{1}{π (1 + y^{2})} d y \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb{E}[X_1/(X_1+X_2)] &=\mathbb{E}[1/(1+X_2/X_1)]\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+y}\,\frac{1}{\pi(1+y^2)}\text{d}y \end{align*}$

y = - 1

$y=-1$

(y + 1)^{- 1}

$(y+1)^{-1}$

$X_1/\bar{X}$

f : y \to \frac{n}{1 + \sqrt{n - 1} y}

$f:\ y \to \dfrac{n}{1+\sqrt{n-1}y}$

(X_{2} + \dots + X_{n}) \sim N (0, n - 1)

$(X_2+\ldots+X_n)\sim\text{N}(0,n-1)$

\frac{X_{1}}{\bar{X}} = \frac{n}{1 + (X_{2} + \dots + X_{n}) / X_{1}} = \frac{n}{1 + \sqrt{n - 1} Z / X_{1}}

$\frac{X_1}{\bar{X}}=\dfrac{n}{1+(X_2+\ldots+X_n)/X_1}=\dfrac{n}{1+\sqrt{n-1}Z/X_1}$

Z \sim N (0, 1)

$Z\sim\text{N}(0,1)$

$n$ $X_1/\bar{X}$ $\pm \infty$ $1/2$

— Tây An
nguồn

1

$1$

OK, do đó, đối số đối xứng hoạt động, nhưng chỉ khi kỳ vọng tồn tại ở vị trí đầu tiên ... Tất nhiên ...

— Zen

@ Xi'an: bạn đã đúng về việc đây không phải là một Cauchy, và câu trả lời của bạn là ngay lập tức. Tôi sẽ xóa câu trả lời của tôi, vì nó chủ động gây hiểu lầm.

— Stephan Kolassa