Là độ lệch CoSt Chuẩn là một điều?

8

Vì vậy, có độ lệch chuẩn, phương sai và hiệp phương sai, nhưng có độ lệch chuẩn không?

Nếu không, tai sao không? Có một lý do toán học cơ bản hay nó chỉ là quy ước?

Nếu vậy tại sao nó không được sử dụng nhiều hơn, hoặc ít nhất là thực sự khó tìm bằng cách sử dụng các tìm kiếm Google?

Tôi không có ý đây là một câu hỏi thiếu sót, tôi đang cố gắng thực sự thống kê câu hỏi thay vì chỉ ghi nhớ một loạt các công thức.

variance standard-deviation covariance-matrix

— hẻm núi
nguồn

1

Bạn có thể làm rõ những gì bạn nghĩ rằng "độ lệch chuẩn" sẽ đại diện cho? Có một số động lực cơ bản, hoặc bạn chỉ đang hỏi (theo nghĩa meta) liệu có thể có một ý nghĩa phổ quát nào đó để chuẩn bị "đồng" với tên của bất kỳ thống kê nào không?

— whuber

1

Tôi giả sử OP đang khái quát hóa từ phương sai: hiệp phương sai :: độ lệch chuẩn: "độ lệch chuẩn", nhưng sẽ không gây hại cho câu hỏi rõ ràng hơn (giả sử chúng thực sự có nghĩa là ).

\sqrt{σ_{X Y}}

$\sqrt{\sigma_{XY}}$

— Ben Bolker

12

Một đặc tính hữu ích của độ lệch chuẩn là nó có cùng đơn vị với giá trị trung bình, do đó độ lớn của và có thể so sánh trực tiếp. Tôi chưa bao giờ thấy ai tính toán độ lệch đồng tiêu chuẩn (theo đó tôi giả sử bạn có nghĩa là căn bậc hai của hiệp phương sai); nếu đơn vị của và được ký hiệu là và , thì đơn vị của hiệp phương sai là và đơn vị của độ lệch đồng tiêu chuẩn sẽ là , không đặc biệt hữu ích. Mặt khác, mối tương quan $\sigma_X$ $\bar X$ $X$ $Y$ $[X]$ $[Y]$ $[X][Y]$ $\sqrt{[X][Y]}$ $\sigma_{XY}/(\sigma_X \sigma_Y)$ là đơn vị, và là một thang đo rất phổ biến để báo cáo các hiệp hội.

Phương sai (trái ngược với độ lệch chuẩn) là hữu ích vì nó thường có các tính chất toán học đẹp hơn; đặc biệt

σ_{X + Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} + 2 σ_{X Y},

$\sigma^2_{X+Y} = \sigma^2_X + \sigma^2_Y + 2 \sigma_{XY},$ đơn giản hóa độc đáo khi và độc lập (do đó ).

X

$X$

Y

$Y$

σ_{X Y} = 0

$\sigma_{XY}=0$

Trong khi bạn đang suy nghĩ về các cách thay đổi tỷ lệ, bạn cũng có thể xem xét hệ số biến thiên (không có đơn vị) hoặc tỷ lệ phương sai so với trung bình (có kỳ lạ đơn vị nhưng có ý nghĩa trong bối cảnh phân phối số lượng như Poisson, cũng không có đơn vị). $\sigma_X/\bar X$ $\sigma^2_X/\bar X$

— Ben Bolker
nguồn

3

Điểm tốt, nhưng dường như không trả lời được tại sao lấy căn bậc hai của hiệp phương sai không có ý nghĩa.

— Tim

3

Đây là một cách để khai thác công thức của bạn: sử dụng nó để quan sát rằng hiệp phương sai có thể được định nghĩa làVậy tại sao không định nghĩa đơn giản là "co-SD" - hãy gọi nó là , giả sử - làĐiều này gợi ý về sự khó khăn khi trả lời câu hỏi ban đầu mà không biết "đồng" của bất cứ điều gì có thể có nghĩa là gì: bạn không thể chứng minh nhiều chỉ bằng cách chỉ ra rằng một khái quát cụ thể là vô nghĩa hoặc vô dụng; bạn phải xem xét tất cả các cách có thể để khái quát một khái niệm!

σ_{X Y} = = (σ_{X + Y}^{2} - σ_{X}^{2} - σ_{Y}^{2}) / 2.

$\sigma_{XY} = (\sigma^2_{X+Y}-\sigma_X^2-\sigma_Y^2)/2.$

τ

$\tau$

τ_{X Y} = = (σ_{X + Y} - σ_{X} - σ_{Y}) / 2 ?

$\tau_{XY}=(\sigma_{X+Y}-\sigma_X-\sigma_Y)/2?$

— whuber

5

Câu hỏi dường như trở lại phía trước. Trong toán học, chúng tôi không phát minh ra tên cho số lượng "chỉ vì chúng tôi có thể", nhưng vì số lượng được đặt tên là hữu ích cho một cái gì đó.

Câu hỏi của OP không đưa ra và lý do tại sao anh ấy / cô ấy nghĩ rằng có một số lượng hữu ích có thể được đặt tên là "Độ lệch coSt Chuẩn" và câu trả lời là đoán những điều có thể hữu ích.

Để khái quát khái niệm thành hồi quy tuyến tính đa biến với biến, "hiệp phương sai" trở thành ma trận đối xứng . Bạn chắc chắn có thể đưa ra một định nghĩa hợp lý về "căn bậc hai của ma trận đối xứng" miễn là nó xác định dương hoặc bán xác định, nhưng thật khó để nghĩ đến việc sử dụng nó trong ngữ cảnh này - và nó không giống nhau như lấy căn bậc hai của mỗi nhiệm kỳ của ma trận riêng! $n$ $n \times n$

Tất nhiên, căn bậc hai của ma trận đường chéo (ví dụ ma trận phương sai) chỉ là căn bậc hai của các thuật ngữ riêng lẻ, vì vậy khái niệm "độ lệch chuẩn" không khái quát theo cách rõ ràng và hữu ích - nhưng "Độ lệch coSt Standard" không , IMO. Và nói chung, "căn bậc hai của ma trận" thậm chí không được xác định duy nhất, vậy bạn muốn chọn căn bậc hai cụ thể nào làm Độ lệch chuẩn?

— alephzero
nguồn

4

Hiệp phương sai có thể là cả tích cực và tiêu cực.

Vì vậy, căn bậc hai của hiệp phương sai có thể là thực hoặc ảo.

Bạn có thể so sánh một số thực với một số ảo cho kích thước. Các đơn vị cho "độ lệch chuẩn" sẽ bất tiện. Không có lợi ích trong việc lấy căn bậc hai.

— James K
nguồn

Xin vui lòng xem nhận xét của tôi để trả lời của Ben Bolker.

— whuber

và xem phản ứng của Ben.

— James K