Là văn phòng phẩm được bảo tồn dưới sự kết hợp tuyến tính?

Hãy tưởng tượng chúng ta có hai quá trình chuỗi thời gian, đó là các quá trình đứng yên, tạo ra: $x_t,y_t$ .

Là $z_t=\alpha x_t +\beta y_t$ , $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$ cũng đứng yên?

Bất kỳ trợ giúp sẽ được đánh giá cao.

Tôi sẽ nói có, vì nó có một đại diện MA.

Có lẽ đáng ngạc nhiên, điều này là không đúng sự thật. (Tuy nhiên, sự độc lập của hai chuỗi thời gian sẽ biến nó thành sự thật.)

Tôi hiểu "ổn định" có nghĩa là văn phòng phẩm, bởi vì những từ đó dường như được sử dụng thay thế cho nhau trong hàng triệu lượt truy cập tìm kiếm, bao gồm ít nhất một từ trên trang web của chúng tôi .

Đối với một phản ví dụ, chúng ta hãy là một tổ chức phi liên tục tĩnh chuỗi thời gian mà mỗi không phụ thuộc vào , và có phân bố biên là đối xứng xung quanh . Định nghĩa$X$$X_t$$X_s$$s\ne t,$$0$

$$Y_t = (-1)^t X_t.$$

Các lô này cho thấy các phần của chuỗi ba thời gian được thảo luận trong bài này. được mô phỏng như một chuỗi các lần rút độc lập từ phân phối chuẩn.$X$

Để chỉ ra rằng đứng yên, chúng ta cần chứng minh rằng phân phối chung của cho mọi không phụ thuộc vào . Nhưng điều này diễn ra trực tiếp từ tính đối xứng và tính độc lập của . ( Y s + t 1 , Y s + t 2 , ... , Y s + t n ) t 1 < t 2 < ⋯ < t n s X $Y$$(Y_{s+t_1}, Y_{s+t_2}, \ldots, Y_{s+t_n})$$t_1\lt t_2 \lt \cdots \lt t_n$$s$$X_t$

Các biểu đồ tán xạ bị trễ này (cho một chuỗi 512 giá trị của ) minh họa cho sự khẳng định rằng các phân phối bivariate chung của là như mong đợi: độc lập và đối xứng. ("Phân tán độ trễ" hiển thị các giá trị của so với ; các giá trị của được hiển thị.)Y Y t + s Y t s = 0 , 1 , $Y$$Y$$Y_{t+s}$$Y_{t}$$s=0,1,2$

Tuy nhiên, chọn , chúng tôi có$\alpha=\beta=1/2$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = X_t$$

cho thậm chí và nếu không$t$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = 0.$$

Vì không phải là hằng số, rõ ràng hai biểu thức này có các phân phối khác nhau cho bất kỳ và , do đó chuỗi không đứng yên. Các màu trong hình đầu tiên làm nổi bật tính không cố định này trong bằng cách phân biệt các giá trị 0 với phần còn lại.t t + 1 ( X + Y ) / 2 ( X + Y ) /$X$$t$$t+1$$(X+Y)/2$$(X+Y)/2$

Hãy xem xét quá trình hai chiều

$$w_t = (x_t, y_t)$$

Nếu nó là đúng văn phòng phẩm, hoặc cách khác, nếu các quá trình và đang phối hợp chặt chẽ cố định , sau đó một quá trình hình thành bởi bất kỳ chức năng đo lường được cũng sẽ đứng yên.( y t ) f : = f ( x t , y t ) , f : R 2 → $(x_t)$$(y_t)$$f:= f(x_t,y_t), f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$

Trong ví dụ của @ whuber, chúng ta có

$$w_t = (x_t, (-1)^t x_t)$$

Để kiểm tra xem này có ổn định hay không, trước tiên chúng ta phải có phân phối xác suất của nó. Giả sử các biến là hoàn toàn liên tục. Đối với một số , chúng tôi có c ∈ $w_t$$c \in \mathbb R$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c, X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(X_t \leq c, -X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(-c\leq X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$\implies \text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_t| \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

Bám sát ví dụ của các nhà sản xuất, hai nhánh là các phân phối xác suất khác nhau vì có đối xứng phân phối quanh 0. $x_t$

Bây giờ để kiểm tra mức độ nghiêm ngặt, hãy thay đổi chỉ số bằng một số nguyên . Chúng ta có$k>0$

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_{t+k} \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is odd}}$$

Đối với văn phòng phẩm nghiêm ngặt, chúng ta phải có

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)=\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c),\;\;\; \forall t,k$$

Và chúng ta không có sự bình đẳng này , bởi vì, giả sử, nếu là chẵn và là số lẻ, thì là số lẻ, trong trường hợp này$\forall t,k$$t$$k$$t+k$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c) = \text{Prob}(X_t \leq c)$$

trong khi

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c) = \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)= \text{Prob}( |X_{t}| \leq c)$$

Vì vậy, chúng tôi không có sự ổn định nghiêm ngặt chung , và sau đó chúng tôi không có đảm bảo về những gì sẽ xảy ra với một chức năng của . $f(x_t,y_t)$

Tôi phải chỉ ra rằng sự phụ thuộc giữa và , là một điều kiện cần nhưng không phải là điều kiện đủ cho việc mất sự nghiêm ngặt chung. Đó là giả định bổ sung về sự phụ thuộc của vào chỉ mục thực hiện công việc.$x_t$$y_t$$y_t$

Xem xét

$$q_t = (x_t, \theta x_t),\;\;\; \theta \in \mathbb R$$

Nếu một người làm công việc trước đó cho người ta sẽ thấy rằng sự nghiêm khắc chung giữ ở đây.$(q_t)$

Đây là tin tốt vì một quá trình phụ thuộc vào chỉ số và nghiêm túc đứng yên không nằm trong số các giả định mô hình hóa mà chúng ta cần thực hiện rất thường xuyên. Do đó, trong thực tế, nếu chúng ta có sự cố định nghiêm ngặt cận biên, chúng ta cũng mong đợi sự cố định nghiêm ngặt chung ngay cả khi có sự phụ thuộc (mặc dù tất nhiên chúng ta nên kiểm tra.)

Tôi sẽ nói có, vì nó có một đại diện MA.

Một quan sát. Tôi nghĩ rằng có một đại diện MA ngụ ý sự ổn định yếu, không chắc nó có ngụ ý mạnh mẽ không.