Làm thế nào là phân phối gamma nghịch đảo liên quan đến

Cho rằng dự toán sau của của một khả năng bình thường và một gamma nghịch đảo trước trên σ 2 là:$\sigma'^{2}$$\sigma^2$

$$\sigma'^{2}\sim\textrm{IG}\left(\alpha + \frac{n}{2}, \beta +\frac{\sum_{i=1}^n{(y_i-\mu)^2}}{2}\right)$$

tương đương với

$$\sigma'^{2}\sim\textrm{IG}\left( \frac{n}{2}, \frac{n\sigma^2}{2}\right)$$

kể từ khi một yếu trước trên σ 2 để loại bỏ việc alpha và β từ eqn 1:$\textrm{IG}(\alpha, \beta)$$\sigma^2$$\alpha$$\beta$

$$\sigma'^{2}\sim\textrm{IG}\left( \frac{n}{2}, \frac{\sum_{i=1}^n{(y_i-\mu)^2}}{2}\right)$$

Rõ ràng là các ước tính sau của là một hàm của kích thước mẫu và tổng bình phương của các khả năng. Nhưng điều này có nghĩa là gì? Có một dẫn xuất trên Wikipedia mà tôi không hoàn toàn theo dõi.$\sigma^2$

Tôi có những câu hỏi sau

1. Tôi có thể đến phương trình thứ hai này mà không cần gọi quy tắc của Bayes không? Tôi tò mò liệu có một cái gì đó vốn có trong các tham số của một IG có liên quan đến giá trị trung bình và phương sai không phụ thuộc vào khả năng bình thường.
2. Tôi có thể sử dụng kích thước mẫu và độ lệch chuẩn từ một nghiên cứu trước đó để ước tính thông báo trước , và sau đó cập nhật trước với dữ liệu mới không? Điều này có vẻ đơn giản, nhưng tôi không thể tìm thấy bất kỳ ví dụ nào về việc đó, hoặc lý do tại sao đây sẽ là một cách tiếp cận hợp pháp - ngoài những gì có thể nhìn thấy ở phía sau.$\sigma^2$
3. Có một xác suất phổ biến hoặc sách giáo khoa thống kê mà tôi có thể tham khảo để giải thích thêm?

Tôi nghĩ rằng đó là chính xác hơn để nói về sự phân bố sau của tham số của bạn chứ không phải là ước tính sau của nó. Để làm rõ các ký hiệu, tôi sẽ thả thủ trong σ ' 2 trong những gì sau.$\sigma'^{2}$$\sigma'^{2}$

Giả sử rằng được phân phối như N ( 0 , σ 2 ) , - Tôi thả μ cho bây giờ để làm một ví dụ dựa trên kinh nghiệm - và 1 / σ 2 = $X$$\mathcal{N}(0, \sigma^2)$$\mu$ được phân phối nhưΓ(α,β)và không phụ thuộc vàoX.$1/\sigma^2 = \sigma^{-2}$$\Gamma(\alpha, \beta)$$X$

Pdf của cho σ - 2 là Gaussian, nghĩa là$X$$\sigma^{-2}$

$$f(x|\sigma^{-2}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right).$$

$(X, \sigma^{-2})$$f(x,\sigma^{-2})$$f(x|\sigma^{-2})$$g(\sigma^{-2})$$\sigma^{-2}$

$$f(x, \sigma^{-2}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right) \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\exp \left(-\frac{\beta}{ \sigma^2}\right)\frac{1}{\sigma^{2(\alpha-1)}}.$$

Chúng ta có thể nhóm các thuật ngữ tương tự và viết lại như sau

$$f(x, \sigma^{-2}) \propto \sigma^{-2(\alpha-1/2)} \exp\left(-\sigma^{-2} \left(\beta + x^2/2 \right)\right).$$

$\sigma^{-2}$$\sigma^{-2}$$x$$f(x, \sigma^{-2}) / f(x)$$f(\sigma^{-2}|x)$$f(x, \sigma^{-2})$$\Gamma$$\sigma^{-2}$$f(x)$

$$f(x) \propto (\beta + x^2/2)^{-(\alpha+1/2)},$$

vì vậy bằng cách chia chúng ta nhận được

$$f(\sigma^{-2}|x) \propto \left(\beta + x^2/2 \right) \left( \sigma^{-2} \left(\beta + x^2/2 \right) \right)^{\alpha-1/2} \exp\left(-\sigma^{-2} \left(\beta + x^2/2 \right)\right) \\ \propto \left( \sigma^{-2} \left(\beta + x^2/2 \right) \right)^{\alpha-1/2} \exp\left(-\sigma^{-2} \left(\beta + x^2/2 \right)\right).$$

$\Gamma$$(\alpha + 1/2, \beta + x^2/2)$

$((x_1, \sigma_1^{-2}), ..., (x_n, \sigma^{-2}_n))$$\sigma_i^{-2}$$f(x_1, ..., x_n)$$f(\sigma_1^{-2}, ..., \sigma_n^{-2}|x_1, ..., x_n)$

$$f(\sigma_1^{-2}, ..., \sigma_n^{-2}|x_1, ..., x_n) \propto \prod_{i=1}^n \left( \sigma_i^{-2} \left(\beta + x_i^2/2 \right) \right)^{\alpha-1/2} \exp\left(-\sigma_i^{-2} \left(\beta + x_i^2/2 \right)\right),$$

$\Gamma$$\sigma_i^{-2}$$\Gamma$

$x_i$$\sigma^{-2}$$\sigma^{-2}$$\Gamma(\alpha, \beta)$$x_i$$\sigma^{-2}$

$$f(x_1, ..., x_n, \sigma^{-2}) \propto \sigma^{-2 (\alpha + n/2)} \exp\left(-\sigma^{-2} \left(\beta + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n x_i^2\right) \right),$$

$\sigma^{-2}$

$\sigma^{-2}$$\Gamma$$\alpha$$\beta$$n$$\sigma^{-2}$$\alpha/\beta$$\alpha/\beta^2$$\alpha = \beta$$\sigma^{-2}$bởi vì phương sai trở nên rất lớn Các giá trị là nhỏ, bạn có thể thả chúng từ các phương trình trên và bạn kết thúc với phương trình 3 của mình.

$\Gamma$$S^2$$\sigma^2$

Về câu hỏi của bạn 2. tất nhiên bạn có thể sử dụng các giá trị thu được trong một thử nghiệm trước đó với tư cách là linh mục của bạn. Vì chúng tôi đã thiết lập song song giữa giải thích Bayes và người thường xuyên ở trên, chúng tôi có thể giải thích và nói rằng nó giống như tính toán một phương sai từ một cỡ mẫu nhỏ và sau đó thu thập nhiều điểm dữ liệu hơn: bạn sẽ cập nhật ước tính của phương sai thay vì vứt bỏ các điểm dữ liệu đầu tiên.

Về câu hỏi của bạn 3. Tôi thích Giới thiệu về Thống kê toán học của Hogg, McKean và Craig, thường đưa ra chi tiết về cách rút ra các phương trình này.

Đối với câu hỏi 1, phương trình thứ hai tuân theo quy tắc của Bayes khi bạn chỉ ra và tôi không thấy cách nào để tránh điều đó.

Đối với câu hỏi 2, vâng, bạn có thể làm điều này. Chỉ cần sử dụng một hình thức trước giống như phương trình thứ hai của bạn.

Đối với câu hỏi 3, tôi sẽ tìm kiếm một cái gì đó về các gia đình theo cấp số nhân. Có thể ai đó sẽ giới thiệu một nguồn lực tốt.