Là lý thuyết về phương sai tối thiểu không thiên vị ước lượng quá mức trong trường đại học?

Gần đây, tôi đã rất lúng túng khi đưa ra một câu trả lời sai lệch về các ước tính không thiên vị tối thiểu cho các tham số của phân phối thống nhất hoàn toàn sai. May mắn thay, tôi đã ngay lập tức sửa chữa bởi hồng y và Henry cùng với Henry cung cấp câu trả lời đúng cho OP .

Điều này khiến tôi suy nghĩ mặc dù. Tôi đã học lý thuyết về những người ước lượng không thiên vị nhất trong lớp học toán tốt nghiệp của tôi tại Stanford khoảng 37 năm trước. Tôi có những hồi ức về định lý Rao-Blackwell, Cramer - Rao giới hạn dưới và Định lý Lehmann-Scheffe. Nhưng là một nhà thống kê ứng dụng, tôi không nghĩ nhiều về UMVUE trong cuộc sống hàng ngày của mình trong khi ước tính khả năng tối đa xuất hiện rất nhiều.

Tại sao vậy? Chúng ta có quá coi trọng lý thuyết UMVUE quá nhiều ở trường sau đại học không? Tôi nghĩ vậy. Trước hết không thiên vị không phải là một tài sản quan trọng. Nhiều MLE hoàn toàn tốt là thiên vị. Công cụ ước tính độ co rút Stein bị sai lệch nhưng chi phối MLE không thiên vị về mặt mất trung bình lỗi. Đó là một lý thuyết rất đẹp (ước tính UMVUE), nhưng rất không đầy đủ và tôi nghĩ không hữu ích lắm. Người khác nghĩ gì?

Chúng ta biết rằng

Nếu là một mẫu ngẫu nhiên từ P o i s s o n ( λ ) sau đó cho bất kỳ α ∈ ( 0 , 1 ) , T α = α ˉ X + ( 1 - α ) S 2 là một UE của $X_1,X_2, \dots X_n$$Poisson(\lambda)$$\alpha \in (0,1),~T_\alpha =\alpha \bar X+(1-\alpha)S^2$$\lambda$

$\lambda$

$X_1,X_2, \dots X_n$$N(\mu, \sigma^2)$$T_\alpha =\alpha S^2$$(n-1)S^2=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2$$\sigma^2$$\frac{n-1}{n+1}S^2=\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2$

Lưu ý rằng Định lý Rao-Blackwell nói rằng để tìm UMVUE, chúng ta chỉ có thể tập trung vào các UE có chức năng thống kê đầy đủ đó là UMVUE là công cụ ước tính có phương sai tối thiểu trong số tất cả các UE có chức năng thống kê đầy đủ. Do đó UMVUE nhất thiết phải là một chức năng của một thống kê đầy đủ.

MLE và UMVUE đều tốt từ quan điểm. Nhưng chúng ta không bao giờ có thể nói rằng một trong số họ tốt hơn so với người khác. Trong thống kê, chúng tôi xử lý dữ liệu không chắc chắn và ngẫu nhiên. Vì vậy, luôn luôn có phạm vi để cải thiện. Chúng tôi có thể có được một công cụ ước tính tốt hơn MLE và UMVUE.

Tôi nghĩ rằng chúng ta không quá coi trọng lý thuyết UMVUE quá nhiều ở trường sau đại học. Đây hoàn toàn là quan điểm cá nhân của tôi. Tôi nghĩ giai đoạn tốt nghiệp là một giai đoạn học tập. Vì vậy, một sinh viên tốt nghiệp phải có một cơ sở tốt về UMVUE và những người ước tính khác,

Có lẽ bài báo của Brad Efron "Khả năng tối đa và lý thuyết quyết định" có thể giúp làm rõ điều này. Brad đã đề cập rằng một khó khăn chính với UMVUE là nói chung khó tính toán và trong nhiều trường hợp không tồn tại.