Chứng minh rằng các hàm tạo thời điểm xác định duy nhất các phân phối xác suất

Văn bản của Wackerly et al nêu định lý này "Gọi và biểu thị các hàm tạo mô men của các biến ngẫu nhiên X và Y. Nếu cả hai hàm tạo tồn tại và với tất cả các giá trị của t, thì X và Y có cùng phân phối xác suất. " không có bằng chứng nói nó vượt quá phạm vi của văn bản. Scheaffer Young cũng có định lý tương tự mà không cần chứng minh. Tôi không có bản sao của Casella, nhưng tìm kiếm sách của Google dường như không tìm thấy định lý trong đó.m y ( t ) m x ( t ) = m y ( t $m_x(t)$$m_y(t)$$m_x(t) = m_y(t)$

Văn bản của Gut dường như có một phác thảo về bằng chứng , nhưng không tham chiếu đến "kết quả nổi tiếng" và cũng yêu cầu biết một kết quả khác mà bằng chứng cũng không được cung cấp.

Có ai biết ai ban đầu đã chứng minh điều này và nếu bằng chứng có sẵn trực tuyến ở bất cứ đâu? Nếu không, làm thế nào người ta sẽ điền vào các chi tiết của bằng chứng này?

Trong trường hợp tôi được hỏi không, đây không phải là một câu hỏi bài tập về nhà, nhưng tôi có thể tưởng tượng đây có thể là bài tập về nhà của ai đó. Tôi đã lấy một chuỗi khóa học dựa trên văn bản Wackerly và tôi đã tự hỏi về bằng chứng này trong một thời gian. Vì vậy, tôi nghĩ rằng đó chỉ là thời gian để hỏi.

Bằng chứng chung về điều này có thể được tìm thấy trong Feller (Giới thiệu về Lý thuyết xác suất và các ứng dụng của nó, Tập 2) . Đây là một vấn đề đảo ngược liên quan đến lý thuyết biến đổi Laplace. Bạn có để ý rằng mgf có sự tương đồng đáng kinh ngạc với biến đổi Laplace không?. Để sử dụng Laplace Transform, bạn có thể xem Widder (Calcus Vol I) .

Bằng chứng về một trường hợp đặc biệt:

Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên cả hai chỉ lấy các giá trị có thể có trong { }. Hơn nữa, giả sử rằng X và Y có MGF tương tự cho tất cả các t: n Σ x = 0 đ t x f X ( x ) = n Σ y = 0 đ t y f Y ( y ) Để đơn giản, chúng tôi sẽ cho s = e t và chúng tôi sẽ de fi ne c i = $0, 1, 2,\dots, n$

$$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)=\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)$$ $s = e^t$ cho i = 0 , 1 , Lọ , n .$c_i = f_X(i) − f_Y (i)$$i = 0, 1,\dots,n$

Bây giờ ⇒ n ∑ x = 0 s x f X ( x ) - n ∑ y = 0 s y f Y ( y ) = 0 ⇒ n

$$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)-\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)=0$$ $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{y=0}^ns^yf_Y(y)=0$$ ⇒ n ∑ x = 0 sx[fX(x)-fY(x)]=0⇒ n Σ x = 0 sxcx=0 $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{x=0}^ns^xf_Y(x)=0$$ $$\Rightarrow\sum_{x=0}^ns^x[f_X(x)-f_Y(x)]=0$$ Trên đây chỉ đơn giản là một đa thức trong s với COE ffi cients c 0 , c 1 , ... , c n . Cách duy nhất có thể bằng 0 đối với tất cả các giá trị của s là nếu c 0 = c 1 = ⋯ = c n = 0. Vì vậy, chúng ta có 0 = c i = f X ( i ) - f Y ( i ) cho i = 0 , 1 , $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xc_x=0~∀s>0$$ $c_0, c_1,\dots,c_n$$c_0=c_1=\cdots= c_n=0$$0=c_i=f_X(i)−f_Y(i)$ .$i=0, 1,\dots,n$

$f_X(i)=f_Y(i)$$i=0,1,\dots,n$

$X$$Y$$X$$Y$

Định lý bạn đang thảo luận là một kết quả cơ bản trong lý thuyết xác suất / đo lường. Bằng chứng nhiều khả năng sẽ được tìm thấy trong các cuốn sách về lý thuyết xác suất hoặc thống kê. Tôi tìm thấy kết quả tương tự cho các chức năng đặc trưng được đưa ra trong Hoel Port and Stone Trang 205-208

Tucker Trang 51-53

và Chung Trang 151-155 Đây là Ấn bản thứ ba. Tôi có phiên bản thứ hai và đang đề cập đến số trang trong phiên bản thứ hai được xuất bản năm 1974.

Bằng chứng về mgf tôi thấy khó tìm hơn nhưng bạn có thể tìm thấy nó trong cuốn sách "Xác suất và biện pháp" của Billingley, trang 342-345. Trên trang 342 Định lý 30.1 cung cấp định lý trả lời cho bài toán thời điểm. Trên trang 345 Billingsley nêu kết quả rằng nếu một thước đo xác suất có hàm tạo M (s) được xác định trên một khoảng xung quanh 0 thì giả thuyết cho Định lý 30.1 được thỏa mãn và do đó thước đo được xác định bởi các khoảnh khắc của nó. Nhưng những khoảnh khắc này được xác định bởi M (s). Do đó, số đo được xác định bởi hàm tạo mô men của nó nếu M (s) tồn tại trong vùng lân cận bằng 0. Vì vậy logic này cùng với bằng chứng mà ông đưa ra cho Định lý30.1 chứng minh kết quả. Billingsley cũng nhận xét rằng giải pháp để tập thể dục 26.

$X$$M_X(t)=Ee^{tX}$

$\delta>0$$M_X(t) = M_Y(t) < \infty$$t \in (-\delta,\delta)$$F_X(t) = F_Y(t)$$t \in \mathbb{R}$

Để chứng minh rằng hàm tạo mô men xác định phân phối, có ít nhất hai cách tiếp cận:

• $M_X$$(-\delta,\delta)$$X$$F_X$$(EX^k)_{k\in\mathbb{N}}$$M_X$

• $M_X$$(-\delta,\delta)\times i\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$$M_X(z)=Ee^{zX}$$M_X(it)=\varphi_X(t)$$t\in\mathbb{R}$$\varphi_X$$F_X$Curtiss, JH Ann. Môn Toán. Thống kê 13: 430-433 và tài liệu tham khảo trong đó.

Ở cấp đại học, hầu hết mọi sách giáo khoa đều hoạt động với hàm tạo mô men và nêu định lý trên mà không cần chứng minh. Nó có ý nghĩa, bởi vì bằng chứng đòi hỏi toán học tiên tiến hơn nhiều so với trình độ đại học cho phép.

$\varphi_X(t)=Ee^{itX}$