MLE của


7

Đặt là một mẫu ngẫu nhiên từ một bản phân phối với pdf X1,X2,X3,...,Xn

f(x;α,θ)=ex/θθαΓ(α)xα1I(0,)(x),α,θ>0

Tìm công cụ ước tính khả năng tối đa của và . ĐặtαθΨ(α)=dΓ(α)dα

Nỗ lực của tôi,

L(α,θ)=i=1nf(xi)=i=1nexi/θθαΓ(α)xiα1=1Γn(α)θnα(i=1nxi)α1exp(i=1nxiθ)
(α,θ)=nlog(Γ(α))nαlog(θ)+(α1)i=1nlog(xi)1θi=1nxiδ(α,θ)δθ=nαθ+1θ2i=1nxi=01θ2i=1nxi=nαθθ^=i=1nxinα=1αx¯
d(α,θ^)dα=nΓ(α)Γ(α)nlog(1αx¯)+i=1nlog(xi)=0=nΓ(α)Γ(α)+nlog(α)nlog(x¯)+i=1nlog(xi)=0log(α)Γ(α)Γ(α)=log(x¯)i=1nlog(xi)n

Tôi không thể tiếp tục tìm kiếm . Thứ hai, tôi không biết cách sử dụng \ Psi (\ alpha) = \ frac {d \ Gamma (\ alpha)} {d \ alpha} như được nêu trong câu hỏi. Hy vọng ai đó có thể giải thích cho tôi.αΨ(α)=dΓ(α)dα

Cảm ơn trước.


3
Người ta sẽ phải dùng đến các phương pháp số để tìm MLE của . α
StubbornAtom

Bạn viết làΨ(α)Γ(α)
Taylor

1
bạn có thể được yêu cầu sử dụng hàm digamma thay vì của bạn không? Đó sẽ có ý nghĩa hơn đối với tôiψ(x)=Γ(x)Γ(x)Ψ
JLD

@Chaconne Tôi nghĩ câu hỏi có lỗi đánh máy. Nó nên là psi thay vì Psi.
Mathxx

@Taylor Tôi nghĩ ? ψ(α)=Γ(α)Γ(α)
Mathxx

Câu trả lời:


6

Đặt vì vậy là hàm digamma (Tôi đang sử dụng chứ không phải của bạn ).ψ(α)=Γ(α)Γ(α)ψψΨ

Theo bất đẳng thức AM-GM nên (trong đó và được xác định gần như chắc chắn). Hơn nữa, đẳng thức chỉ giữ cho là sự kiện có xác suất , vì vậy gần như chắc chắn.

x¯(ixi)1/n
logx¯logx¯0
logx¯logxix1==xn0logx¯logx¯>0

Để đơn giản, tôi sẽ lấy .y=logx¯logx¯

Xem xét trên . Đây là liên tục và do đó theo định lý giá trị trung gian đạt mọi số thực trong . Cụ thể, điều này có nghĩa là tức là có ít nhất một điểm trong được ánh xạ tới , vì .f(α)=log(α)ψ(α)(0,)

limα0f(α)=
limαf(α)=0
f(0,)
f1({y})
(0,)yy>0

Hơn nữa, hóa ra được tiêm vào là nên thực sự có một duy nhất với .f(0,)f<0α^f(α^)=y

Trên thực tế, việc tìm kiếm này sẽ yêu cầu các phương thức số, như @StubbornAtom nói.α^


4
+1 Phân tích đẹp. Với sự không có triệu chứng của và tôi nhiệt liệt khuyên bạn nên tìm giải pháp của bằng cách tìm số gốc của vì điều này sẽ cực kỳ gần với tuyến tính (với độ dốc ở các giá trị lớn). Γψ,log(x)ψ(x)=C
1log(x)ψ(x)1C,
2
whuber
Khi sử dụng trang web của chúng tôi, bạn xác nhận rằng bạn đã đọc và hiểu Chính sách cookieChính sách bảo mật của chúng tôi.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.