Giải thích trực quan / động lực của phân phối cố định của một quá trình

Thông thường, trong văn học, các tác giả đã quan tâm đến việc tìm phân phối cố định của một quá trình chuỗi thời gian. Ví dụ, hãy xem xét quá trình AR ( ) đơn giản sau : trong đó . $1$ $\{X_t\}$

X_{t} = α X_{t - 1} + e_{t},

$X_t = \alpha X_{t-1} + e_t,$

e_{t} \overset{i i d}{\sim} f

$e_t\stackrel{iid}{\thicksim} f$

Điều gì có thể có thể là động lực để tìm phân phối cố định của bất kỳ quá trình ngẫu nhiên nào?

Những gì khác (lý thuyết và thực tế) phân tích người ta có thể sẽ làm gì bằng cách sử dụng phân phối cố định kết quả?

(Các) vấn đề là gì nếu phân phối cố định không tồn tại? Quá trình sẽ trở nên vô dụng?

Điều gì xảy ra nếu phân phối cố định tồn tại nhưng nó không có dạng đóng? Những nhược điểm của việc không có biểu thức dạng đóng giống nhau là gì?

— Shanks
nguồn

X_{t}

$X_{t}$

Có nhiều động lực khác nhau để quan tâm đến phân phối cố định trong bối cảnh này, nhưng có lẽ khía cạnh quan trọng nhất là chúng có liên quan chặt chẽ đến việc hạn chế phân phối. Đối với hầu hết các quy trình chuỗi thời gian, có một mối liên hệ chặt chẽ giữa phân phối cố định và phân phối giới hạn của quy trình. Trong các điều kiện rất rộng, các quy trình chuỗi thời gian dựa trên các điều khoản lỗi IID có phân phối cố định và chúng hội tụ vào phân phối cố định này dưới dạng phân phối giới hạn cho bất kỳ phân phối bắt đầu nào bạn chỉ định. Điều đó có nghĩa là nếu bạn để quá trình chạy trong một thời gian dài, phân phối của nó sẽ gần với phân phối cố định bất kể nó bắt đầu như thế nào. Vì vậy, nếu bạn có lý do để tin rằng quy trình đã chạy trong một thời gian dài,

$1$ $|\alpha|<1$ $\infty$

X_{t} = \sum_{k = 0}^{\infty} α^{k} e_{t - k} e_{t} \sim IID f .

$X_t = \sum_{k=0}^\infty \alpha^{k} e_{t-k} \quad \quad \quad e_t \sim \text{IID }f.$

$f$ $f$ $\alpha \approx 1$

$1$ $e_t \sim \text{IID N}(0, \sigma^2)$

X_{t} \sim N (0, \frac{σ^{2}}{1 - α^{2}}) .

$X_t \sim \text{N} \Big( 0, \frac{\sigma^2}{1-\alpha^2} \Big).$

$1$

Điều gì xảy ra nếu phân phối cố định không tồn tại: Có một số quy trình chuỗi thời gian nhất định trong đó phân phối tĩnh không tồn tại. Điều này là phổ biến nhất khi có một số khía cạnh định kỳ cố định cho chuỗi, hoặc một số trạng thái hấp thụ (hoặc các lớp trạng thái không giao tiếp khác). Trong trường hợp này có thể không có phân phối giới hạn hoặc phân phối giới hạn có thể là phân phối biên được tổng hợp trên nhiều lớp không giao tiếp, điều này không hữu ích lắm. Đây không phải là một vấn đề - nó chỉ có nghĩa là bạn cần một loại mô hình khác thể hiện chính xác bản chất không cố định của quy trình. Điều này phức tạp hơn, nhưng lý thuyết thống kê có cách và phương tiện để đối phó với điều này.

— Ben - Phục hồi Monica
nguồn

Cảm ơn rất nhiều, @Ben đã trả lời. Điều này xóa một số nghi ngờ của tôi. Bạn đã nói rằng phân phối cố định có thể được sử dụng trong các ứng dụng thống kê khác nhau. Điều đó có nghĩa là phân phối cố định là hữu ích nếu chỉ có nó ở dạng đóng? Nếu bạn làm rõ hơn một chút về những gì sẽ xảy ra nếu phân phối cố định tồn tại nhưng không có một hình thức rõ ràng?

— Shanks

Trường hợp thông thường là giả sử phân phối bình thường cho các điều khoản lỗi, sau đó dẫn đến phân phối cố định phân phối bình thường cho quy trình. Điều này cũng có lợi thế là phân phối được hình thành từ CLT. Trong trường hợp bạn đang sử dụng một mô hình có phân phối cố định không ở dạng đóng, bạn có thể mô phỏng nó hoặc lấy một xấp xỉ bằng cách sử dụng hỗn hợp các phân phối bình thường. Rất hiếm khi thấy bất cứ ai sử dụng một quá trình không bình thường.

— Ben - Tái lập Monica

X_{t} = α X_{t - 1}^{2} + e_{t}

$X_t = \alpha X_{t-1}^2 + e_t$

X_{t} = α | X_{t - 1} | + e_{t}

$X_t = \alpha |X_{t-1}| + e_t$

Bây giờ bạn có một hình thức mô hình khác nhau, và do đó một câu hỏi khác nhau.

— Ben - Tái lập Monica