Phân phối điểm ban đầu của quy trình AR

Hãy xem xét một quá trình ngẫu nhiên theo mô hình trong đó .$\{X_t, t = 1, 2, \ldots\}$

$$X_t = \alpha X_{t-1} + e_t,$$ $e_t \thicksim f$

Tôi có thể nói rằng phân phối của điểm ban đầu, , giống như không?$X_1$$f$

Tôi có thể nói rằng mật độ biên cố định, nếu nó tồn tại, của giống với không?$\{X_t\}$$X_2 (\stackrel{D}{=}\alpha X_1 + e_2)$

Tôi nghĩ rằng mật độ biên cố định, nếu nó tồn tại, của giống với , nhưng không nhất thiết phải giống với .$\{X_t\}$$X_2$$X_1$

Các quy trình chuỗi thời gian chỉ được xác định bởi một phương trình đệ quy không được chỉ định đầy đủ, vì chúng phụ thuộc vào đặc điểm kỹ thuật của "phân phối bắt đầu". Trừ khi có một số hạn chế bổ sung mà bạn bắt buộc phải đáp ứng, bạn có thể sử dụng bất kỳ phân phối bắt đầu nào bạn muốn và bạn vẫn sẽ có một mô hình AR phù hợp với phương trình đệ quy đã chỉ định. Tuy nhiên, đã nói điều này, thường là trường hợp chúng tôi muốn chỉ định một mô hình AR cố định , trong đó áp đặt một hạn chế bổ sung ngoài phương trình đệ quy. Nếu bạn muốn mô hình AR của bạn đứng yên, thì bạn cần$|\alpha|<1$ và bạn cũng cần chọn phân phối biên của giá trị ban đầu bằng với phân phối tiệm cận của quá trình.

Để có được phân phối biên cần thiết cho một mô hình tĩnh, bạn đặt phương sai cho phân phối biên bằng cách đặt phương sai của nó thành $\sigma_X^2 = \mathbb{V}(X_t) = \mathbb{V}(X_{t-1})$. Từ phương trình đệ quy xác định quy trình AR của bạn, bạn có:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \sigma_X^2 = \mathbb{V}(X_t) &= \mathbb{V}(\alpha X_{t-1} + e_t) \\[6pt] &= \alpha^2 \mathbb{V}(X_{t-1}) + \mathbb{V}(e_t) \\[6pt] &= \alpha^2 \sigma_X^2 + \sigma^2. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Giải quyết để $\sigma_X$ sản lượng:

$$\sigma_X^2 = \frac{\sigma^2}{1-\alpha^2}.$$

Do đó, để có được mô hình AR cố định (mạnh) (với giá trị trung bình bằng 0), bạn sẽ sử dụng phân phối bắt đầu:

$$X_i \sim \text{N} \Big( 0, \frac{\sigma^2}{1-\alpha^2} \Big).$$

Sử dụng phân phối bắt đầu này đảm bảo rằng tất cả các giá trị chuỗi thời gian đều có cùng phân phối biên, cung cấp cho bạn một quy trình đứng yên. Bạn sẽ nhận thấy từ kết quả này rằng phương sai biên của chuỗi lớn hơn nếu giá trị tuyệt đối của tham số tương quan tự động gần với một. Đó là bởi vì các quy trình như vậy có tương quan tự động cao, dẫn đến cánh lớn trong quy trình, dẫn đến phương sai (biên) cao hơn.

Một điều nữa cần lưu ý ở đây là bạn không có thuật ngữ trung bình trong mô hình AR của mình, vì vậy nó có giá trị trung bình tiệm cận bằng 0 và vì vậy chúng tôi đã sử dụng giá trị trung bình bằng 0 trong phân phối bắt đầu. Bạn có thể khái quát mô hình của mình để có một tham số trung bình nếu bạn muốn, nhưng điều đó sẽ thay đổi phương trình đệ quy một chút. Tôi đã thảo luận vấn đề này cho mô hình AR tổng quát hơn trong một câu trả lời khác cho một câu hỏi tương tự ở đây , và tôi khuyên bạn nên đọc câu trả lời đó để bổ sung cho câu hỏi này.