Giả sử tôi có $N$ người tham gia, mỗi người trả lời $Y$ 20 lần, 10 trong một điều kiện và 10 trong một điều kiện khác. Tôi phù hợp với một mô hình hiệu ứng hỗn hợp tuyến tính so sánh $Y$ trong từng điều kiện. Đây là một ví dụ có thể tái tạo mô phỏng tình huống này bằng cách sử dụng lme4gói trong R:

library(lme4)
fml <- "~ condition + (condition | participant_id)"
d <- expand.grid(participant_id=1:40, trial_num=1:10)
d <- rbind(cbind(d, condition="control"), cbind(d, condition="experimental"))

set.seed(23432)
d <- cbind(d, simulate(formula(fml), 
                       newparams=list(beta=c(0, .5), 
                                      theta=c(.5, 0, 0), 
                                      sigma=1), 
                       family=gaussian, 
                       newdata=d))

m <- lmer(paste("sim_1 ", fml), data=d)
summary(m)

Mô hình mmang lại hai hiệu ứng cố định (một đánh chặn và độ dốc cho điều kiện) và ba hiệu ứng ngẫu nhiên (một đánh chặn ngẫu nhiên của người tham gia, độ dốc ngẫu nhiên của người tham gia cho điều kiện và tương quan độ dốc chặn).

Tôi muốn so sánh thống kê kích thước của phương sai đánh chặn ngẫu nhiên của người tham gia giữa các nhóm được xác định bởi condition(nghĩa là tính toán thành phần phương sai được tô màu đỏ riêng biệt trong điều kiện kiểm soát và thử nghiệm, sau đó kiểm tra xem sự khác biệt về kích thước của các thành phần là khác không). Làm thế nào tôi có thể làm điều này (tốt nhất là trong R)?

---

TẶNG KEM

Giả sử mô hình phức tạp hơn một chút: Mỗi người tham gia trải nghiệm 10 lần kích thích 20 lần, 10 lần trong một điều kiện và 10 lần khác. Vì vậy, có hai bộ hiệu ứng ngẫu nhiên chéo: hiệu ứng ngẫu nhiên cho người tham gia và hiệu ứng ngẫu nhiên cho kích thích. Đây là một ví dụ có thể tái tạo:

library(lme4)
fml <- "~ condition + (condition | participant_id) + (condition | stimulus_id)"
d <- expand.grid(participant_id=1:40, stimulus_id=1:10, trial_num=1:10)
d <- rbind(cbind(d, condition="control"), cbind(d, condition="experimental"))

set.seed(23432)
d <- cbind(d, simulate(formula(fml), 
                       newparams=list(beta=c(0, .5), 
                                      theta=c(.5, 0, 0, .5, 0, 0), 
                                      sigma=1), 
                       family=gaussian, 
                       newdata=d))

m <- lmer(paste("sim_1 ", fml), data=d)
summary(m)

Tôi muốn thống kê so sánh độ lớn của phương sai đánh chặn ngẫu nhiên của người tham gia giữa các nhóm được xác định bởi condition. Làm thế nào tôi có thể làm điều đó, và quá trình có khác gì với tình huống được mô tả ở trên không?

---

BIÊN TẬP

Để cụ thể hơn một chút về những gì tôi đang tìm kiếm, tôi muốn biết:

1. Là câu hỏi, "là các câu trả lời trung bình có điều kiện trong từng điều kiện (nghĩa là các giá trị chặn ngẫu nhiên trong từng điều kiện) khác nhau đáng kể với nhau, ngoài những gì chúng ta mong đợi do lỗi lấy mẫu", một câu hỏi được xác định rõ (nghĩa là câu hỏi này thậm chí lý thuyết có thể trả lời)? Nếu không, tai sao không?
2. Nếu câu trả lời cho câu hỏi (1) là có, tôi sẽ trả lời như thế nào? Tôi thích Rtriển khai hơn, nhưng tôi không bị ràng buộc với lme4gói - ví dụ, có vẻ như OpenMxgói đó có khả năng chứa các phân tích đa nhóm và đa cấp ( https: //openmx.ssri.psu. edu / openmx-features ) và đây có vẻ là loại câu hỏi phải trả lời được trong khung SEM.

Có nhiều hơn một cách để kiểm tra giả thuyết này. Ví dụ: quy trình do @amoeba vạch ra sẽ hoạt động. Nhưng dường như đối với tôi, cách đơn giản nhất, nhanh nhất để kiểm tra nó là sử dụng thử nghiệm tỷ lệ khả năng cũ tốt so với hai mô hình lồng nhau. Phần khó khăn tiềm năng duy nhất của phương pháp này là trong việc biết cách thiết lập cặp mô hình sao cho việc bỏ đi một tham số duy nhất sẽ kiểm tra sạch giả thuyết mong muốn về phương sai không bằng nhau. Dưới đây tôi giải thích làm thế nào để làm điều đó.

Câu trả lời ngắn

Chuyển sang mã tương phản (tổng bằng 0) cho biến độc lập của bạn và sau đó thực hiện kiểm tra tỷ lệ khả năng so sánh mô hình đầy đủ của bạn với mô hình buộc tương quan giữa độ dốc ngẫu nhiên và chặn ngẫu nhiên là 0:

# switch to numeric (not factor) contrast codes
d$contrast <- 2*(d$condition == 'experimental') - 1

# reduced model without correlation parameter
mod1 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (contrast || participant_id), data=d)

# full model with correlation parameter
mod2 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (contrast | participant_id), data=d)

# likelihood ratio test
anova(mod1, mod2)

Giải thích trực quan / trực giác

Để câu trả lời này có ý nghĩa, bạn cần có một sự hiểu biết trực quan về những giá trị khác nhau của tham số tương quan ngụ ý gì cho dữ liệu được quan sát. Xem xét các dòng hồi quy theo chủ đề cụ thể (thay đổi ngẫu nhiên). Về cơ bản, tham số tương quan kiểm soát xem các đường hồi quy của người tham gia "quạt ra bên phải" (tương quan dương) hay "quạt ra bên trái" (tương quan âm) so với điểm $X=0$ , trong đó X là độc lập tương phản của bạn Biến đổi. Một trong hai điều này ngụ ý phương sai không đồng đều trong các phản ứng trung bình có điều kiện của người tham gia. Điều này được minh họa dưới đây:

Trong âm mưu này, chúng tôi bỏ qua nhiều quan sát mà chúng tôi có cho từng đối tượng trong từng điều kiện và thay vào đó chỉ vẽ hai phương tiện ngẫu nhiên của mỗi đối tượng, với một đường nối chúng, biểu thị độ dốc ngẫu nhiên của chủ thể đó. (Điều này được tạo thành dữ liệu từ 10 đối tượng giả định, không phải dữ liệu được đăng trong OP.)

Trong cột bên trái, nơi có mối tương quan chặn độ dốc âm mạnh, đường hồi quy quạt ở bên trái so với điểm $X=0$ . Như bạn có thể thấy rõ trong hình, điều này dẫn đến phương sai lớn hơn trong các phương tiện ngẫu nhiên của các đối tượng trong điều kiện $X=-1$ so với điều kiện $X=1$ .

Cột bên phải hiển thị hình ảnh phản chiếu ngược lại của mẫu này. Trong trường hợp này, có sự khác biệt lớn hơn trong các phương tiện ngẫu nhiên của các đối tượng trong điều kiện $X=1$ so với điều kiện $X=-1$ .

Cột ở giữa cho thấy những gì xảy ra khi độ dốc ngẫu nhiên và các lần chặn ngẫu nhiên không tương quan. Điều này có nghĩa là các đường hồi quy quạt ở bên trái chính xác như chúng quạt ở bên phải, so với điểm $X=0$ . Điều này ngụ ý rằng phương sai của các đối tượng có nghĩa trong hai điều kiện là bằng nhau.

Điều quan trọng ở đây là chúng tôi đã sử dụng sơ đồ mã hóa tương phản tổng bằng không, không phải mã giả (nghĩa là không đặt các nhóm ở $X=0$ so với$X=1$ ). Đó làchỉtheo chương trình mã hóa độ tương phản mà chúng tôi có mối quan hệ này trong đó chênh lệch đều bình đẳng khi và chỉ khi mối tương quan dốc-đánh chặn là 0. Hình bên dưới cố gắng để xây dựng mà trực giác:

Những gì con số này cho thấy là cùng một bộ dữ liệu chính xác trong cả hai cột, nhưng với biến độc lập được mã hóa theo hai cách khác nhau. Trong cột bên trái, chúng tôi sử dụng mã tương phản - đây chính xác là tình huống từ hình đầu tiên. Trong cột bên phải, chúng tôi sử dụng mã giả. Điều này làm thay đổi ý nghĩa của các lệnh chặn - bây giờ các lệnh chặn thể hiện các phản ứng dự đoán của các đối tượng trong nhóm kiểm soát. Bảng dưới cùng cho thấy hậu quả của sự thay đổi này, cụ thể là, mối tương quan giữa độ dốc không còn ở gần 0, mặc dù dữ liệu giống nhau theo nghĩa sâu và cả hai phương sai có điều kiện đều bằng nhau trong cả hai trường hợp. Nếu điều này dường như vẫn không có ý nghĩa nhiều, nghiên cứu câu trả lời trước đây của tôi, nơi tôi nói nhiều hơn về hiện tượng này có thể giúp ích.

Bằng chứng

Đặt $y_{ijk}$ là phản hồi thứ $j$ của chủ đề thứ $i$ trong điều kiện $k$ . (Chúng ta chỉ có hai điều kiện ở đây, vì vậy $k$ chỉ là 1 hoặc 2.) Sau đó, mô hình hỗn hợp có thể được viết

$$y_{ijk} = \alpha_i + \beta_ix_k + e_{ijk},$$ trong đó $\alpha_i$ là chủ thể ' chặn ngẫu nhiên và có phương sai $\sigma^2_\alpha$ , $\beta_i$là độ dốc ngẫu nhiên của các đối tượng và có sai $\sigma^2_\beta$ , $e_{ijk}$ là một thuật ngữ quan sát cấp lỗi, và $\text{cov}(\alpha_i, \beta_i)=\sigma_{\alpha\beta}$ .

Chúng tôi muốn chứng minh rằng

$$\text{var}(\alpha_i + \beta_ix_1) = \text{var}(\alpha_i + \beta_ix_2) \Leftrightarrow \sigma_{\alpha\beta}=0.$$

Bắt đầu với phía bên trái của hàm ý này, chúng ta có

$$\begin{aligned} \text{var}(\alpha_i + \beta_ix_1) &= \text{var}(\alpha_i + \beta_ix_2) \\ \sigma^2_\alpha + x^2_1\sigma^2_\beta + 2x_1\sigma_{\alpha\beta} &= \sigma^2_\alpha + x^2_2\sigma^2_\beta + 2x_2\sigma_{\alpha\beta} \\ \sigma^2_\beta(x_1^2 - x_2^2) + 2\sigma_{\alpha\beta}(x_1 - x_2) &= 0. \end{aligned}$$

Mã tương phản tổng bằng không ngụ ý rằng $x_1 + x_2 = 0$ và $x_1^2 = x_2^2 = x^2$ . Sau đó chúng ta có thể tiếp tục giảm dòng cuối cùng của ở trên để

$$\begin{aligned} \sigma^2_\beta(x^2 - x^2) + 2\sigma_{\alpha\beta}(x_1 + x_1) &= 0 \\ \sigma_{\alpha\beta} &= 0, \end{aligned}$$ đó là những gì chúng tôi muốn chứng minh. (Để thiết lập hướng khác của hàm ý, chúng ta chỉ cần làm theo các bước tương tự ngược lại.)

Để nhắc lại, điều này cho thấy rằng nếu biến độc lập là tương phản (tổng bằng 0) được mã hóa , thì phương sai của phương tiện ngẫu nhiên của các đối tượng trong mỗi điều kiện là bằng nhau khi và chỉ khi tương quan giữa độ dốc ngẫu nhiên và chặn ngẫu nhiên là 0. Khóa take-away điểm từ tất cả điều này là thử nghiệm giả thuyết rằng $\sigma_{\alpha\beta} = 0$ sẽ kiểm tra giả thuyết của phương sai bằng được mô tả bởi các OP.

Điều này KHÔNG hoạt động nếu biến độc lập là, giả, được mã hóa. Cụ thể, nếu chúng ta cắm các giá trị $x_1=0$ và $x_2=1$ vào các phương trình trên, chúng ta thấy rằng

$$\text{var}(\alpha_i) = \text{var}(\alpha_i + \beta_i) \Leftrightarrow \sigma_{\alpha\beta} = -\frac{\sigma^2_\beta}{2}.$$

Bạn có thể kiểm tra mức ý nghĩa của các tham số mô hình, với sự trợ giúp của các khoảng tin cậy ước tính mà gói lme4 có confint.merModchức năng.

bootstrapping (xem ví dụ Khoảng tin cậy từ bootstrap )

> confint(m, method="boot", nsim=500, oldNames= FALSE)
Computing bootstrap confidence intervals ...
                                                           2.5 %     97.5 %
sd_(Intercept)|participant_id                         0.32764600 0.64763277
cor_conditionexperimental.(Intercept)|participant_id -1.00000000 1.00000000
sd_conditionexperimental|participant_id               0.02249989 0.46871800
sigma                                                 0.97933979 1.08314696
(Intercept)                                          -0.29669088 0.06169473
conditionexperimental                                 0.26539992 0.60940435 

hồ sơ khả năng (xem ví dụ Mối quan hệ giữa khả năng hồ sơ và khoảng tin cậy là gì? )

> confint(m, method="profile", oldNames= FALSE)
Computing profile confidence intervals ...
                                                          2.5 %     97.5 %
sd_(Intercept)|participant_id                         0.3490878 0.66714551
cor_conditionexperimental.(Intercept)|participant_id -1.0000000 1.00000000
sd_conditionexperimental|participant_id               0.0000000 0.49076950
sigma                                                 0.9759407 1.08217870
(Intercept)                                          -0.2999380 0.07194055
conditionexperimental                                 0.2707319 0.60727448

---

• Cũng có một phương pháp 'Wald'nhưng điều này chỉ được áp dụng cho các hiệu ứng cố định.

• Cũng tồn tại một số loại biểu thức anova (tỷ lệ khả năng) trong gói lmerTestđược đặt tên ranova. Nhưng tôi dường như không thể hiểu điều này. Sự phân phối của sự khác biệt về logLikabilities, khi giả thuyết null (phương sai không cho hiệu ứng ngẫu nhiên) là không phân phối chi bình phương (có thể khi số lượng người tham gia và thử nghiệm cao, thử nghiệm tỷ lệ có thể có ý nghĩa).

---

Phương sai trong các nhóm cụ thể

Để có được kết quả cho phương sai trong các nhóm cụ thể, bạn có thể xác định lại thông số

# different model with alternative parameterization (and also correlation taken out) 
fml1 <- "~ condition + (0 + control + experimental || participant_id) "

Nơi chúng tôi đã thêm hai cột vào khung dữ liệu ^{(điều này chỉ cần thiết nếu bạn muốn đánh giá chức năng 'kiểm soát' và 'thử nghiệm' không tương quan(0 + condition || participant_id) sẽ không dẫn đến việc đánh giá các yếu tố khác nhau trong điều kiện là không tương quan)}

#adding extra columns for control and experimental
d <- cbind(d,as.numeric(d$condition=='control'))
d <- cbind(d,1-as.numeric(d$condition=='control'))
names(d)[c(4,5)] <- c("control","experimental")

Hiện nay lmer sẽ cung cấp phương sai cho các nhóm khác nhau

> m <- lmer(paste("sim_1 ", fml1), data=d)
> m
Linear mixed model fit by REML ['lmerModLmerTest']
Formula: paste("sim_1 ", fml1)
   Data: d
REML criterion at convergence: 2408.186
Random effects:
 Groups           Name         Std.Dev.
 participant_id   control      0.4963  
 participant_id.1 experimental 0.4554  
 Residual                      1.0268  
Number of obs: 800, groups:  participant_id, 40
Fixed Effects:
          (Intercept)  conditionexperimental  
               -0.114                  0.439 

Và bạn có thể áp dụng các phương pháp hồ sơ cho những điều này. Ví dụ, hiện tại confint cung cấp khoảng tin cậy cho sự kiểm soát và phương sai ngoại lệ.

> confint(m, method="profile", oldNames= FALSE)
Computing profile confidence intervals ...
                                    2.5 %     97.5 %
sd_control|participant_id       0.3490873 0.66714568
sd_experimental|participant_id  0.3106425 0.61975534
sigma                           0.9759407 1.08217872
(Intercept)                    -0.2999382 0.07194076
conditionexperimental           0.1865125 0.69149396

---

Sự đơn giản

Bạn có thể sử dụng hàm khả năng để có được các so sánh nâng cao hơn, nhưng có nhiều cách để thực hiện xấp xỉ dọc đường (ví dụ: bạn có thể thực hiện kiểm tra anova / lrt-bảo thủ, nhưng đó có phải là điều bạn muốn không?).

Tại thời điểm này, nó làm cho tôi tự hỏi đâu là điểm thực sự của sự so sánh này (không phổ biến) giữa các phương sai. Tôi tự hỏi liệu nó bắt đầu trở nên quá tinh vi. Tại sao sự khác biệt giữa phương sai thay vì tỷ lệ giữa phương sai (liên quan đến phân phối F cổ điển)? Tại sao không chỉ báo cáo khoảng tin cậy? Chúng ta cần lùi lại một bước, và làm rõ dữ liệu và câu chuyện đáng lẽ phải kể, trước khi đi vào những con đường tiên tiến có thể là thừa và lỏng lẻo với vấn đề thống kê và những cân nhắc thống kê thực sự là chủ đề chính.

Tôi tự hỏi liệu người ta có nên làm nhiều hơn không chỉ đơn giản là nêu các khoảng tin cậy (mà thực tế có thể nói nhiều hơn một bài kiểm tra giả thuyết. Một bài kiểm tra giả thuyết không đưa ra câu trả lời nào nhưng không có thông tin nào về sự lây lan thực sự của dân số. làm cho bất kỳ sự khác biệt nhỏ được báo cáo là một sự khác biệt đáng kể). Để đi sâu hơn vào vấn đề (cho bất kỳ mục đích nào), tôi tin rằng, một câu hỏi nghiên cứu cụ thể hơn (được xác định hẹp) để hướng dẫn bộ máy toán học thực hiện các đơn giản hóa phù hợp (ngay cả khi một phép tính chính xác có thể khả thi hoặc khi nó có thể được xấp xỉ bằng mô phỏng / bootstrapping, ngay cả trong một số cài đặt, nó vẫn yêu cầu một số giải thích phù hợp). So sánh với bài kiểm tra chính xác của Fisher để giải quyết một câu hỏi (cụ thể) (về các bảng dự phòng) chính xác,

Ví dụ đơn giản

Để đưa ra một ví dụ về sự đơn giản có thể tôi đưa ra dưới đây so sánh (bằng mô phỏng) với một đánh giá đơn giản về sự khác biệt giữa hai phương sai nhóm dựa trên phép thử F được thực hiện bằng cách so sánh phương sai trong các phản ứng trung bình riêng lẻ và được thực hiện bằng cách so sánh mô hình hỗn hợp dẫn xuất phương sai.

$j$

$$\hat{Y}_{i,j} \sim N(\mu_j, \sigma_j^2 + \frac{\sigma_{\epsilon}^2}{10})$$

$\sigma_\epsilon$$\sigma_{j}$$j = \lbrace 1,2 \rbrace$ ) là bằng nhau thì tỷ lệ cho phương sai cho 40 phương tiện trong tình trạng này 1 và phương sai của 40 có nghĩa là trong điều kiện 2 được phân phối theo phân bố F với bậc tự do 39 và 39 cho tử số và mẫu số.

Bạn có thể thấy điều này trong mô phỏng biểu đồ bên dưới, trong đó dành cho điểm F dựa trên mẫu có nghĩa là điểm F được tính dựa trên phương sai dự đoán (hoặc tổng sai số bình phương) từ mô hình.

^{$\sigma_{j=1} = \sigma_{j=2} = 0.5$$\sigma_\epsilon=1$ .}

Bạn có thể thấy rằng có một số khác biệt. Sự khác biệt này có thể là do thực tế là mô hình tuyến tính hiệu ứng hỗn hợp đang thu được tổng các lỗi bình phương (cho hiệu ứng ngẫu nhiên) theo một cách khác. Và các thuật ngữ lỗi bình phương này không còn được thể hiện dưới dạng phân phối Chi bình phương đơn giản, nhưng vẫn liên quan chặt chẽ và chúng có thể được xấp xỉ.

$\sigma_{j=1} \neq \sigma_{j=2}$$\hat{Y}_{i,j}$$\sigma_j$$\sigma_\epsilon$

^{$\sigma_{j=1} = 0.5$$\sigma_{j=2} = 0.25$$\sigma_\epsilon=1$}

Vì vậy, mô hình dựa trên các phương tiện là rất chính xác. Nhưng nó ít mạnh mẽ hơn. Điều này cho thấy chiến lược chính xác phụ thuộc vào những gì bạn muốn / cần.

^{Trong ví dụ trên khi bạn đặt ranh giới đuôi bên phải là 2.1 và 3.1, bạn nhận được khoảng 1% dân số trong trường hợp phương sai bằng nhau (tương ứng 103 và 104 trong số 10 000 trường hợp) nhưng trong trường hợp phương sai không bằng nhau, các ranh giới này khác nhau rất nhiều (đưa ra 534 và 6716 trường hợp)}

mã:

set.seed(23432)

# different model with alternative parameterization (and also correlation taken out)
fml1 <- "~ condition + (0 + control + experimental || participant_id) "
fml <- "~ condition + (condition | participant_id)"

n <- 10000

theta_m <- matrix(rep(0,n*2),n)
theta_f <- matrix(rep(0,n*2),n)

# initial data frame later changed into d by adding a sixth sim_1 column
ds <- expand.grid(participant_id=1:40, trial_num=1:10)
ds <- rbind(cbind(ds, condition="control"), cbind(ds, condition="experimental"))
  #adding extra columns for control and experimental
  ds <- cbind(ds,as.numeric(ds$condition=='control'))
  ds <- cbind(ds,1-as.numeric(ds$condition=='control'))
  names(ds)[c(4,5)] <- c("control","experimental")

# defining variances for the population of individual means
stdevs <- c(0.5,0.5) # c(control,experimental)

pb <- txtProgressBar(title = "progress bar", min = 0,
                    max = n, style=3)
for (i in 1:n) {

  indv_means <- c(rep(0,40)+rnorm(40,0,stdevs[1]),rep(0.5,40)+rnorm(40,0,stdevs[2]))
  fill <- indv_means[d[,1]+d[,5]*40]+rnorm(80*10,0,sqrt(1)) #using a different way to make the data because the simulate is not creating independent data in the two groups 
  #fill <- suppressMessages(simulate(formula(fml), 
  #                     newparams=list(beta=c(0, .5), 
  #                                    theta=c(.5, 0, 0), 
  #                                    sigma=1), 
  #                     family=gaussian, 
  #                     newdata=ds))
  d <- cbind(ds, fill)
  names(d)[6] <- c("sim_1")


  m <- lmer(paste("sim_1 ", fml1), data=d)
  m
  theta_m[i,] <- m@theta^2

  imeans <- aggregate(d[, 6], list(d[,c(1)],d[,c(3)]), mean)
  theta_f[i,1] <- var(imeans[c(1:40),3])
  theta_f[i,2] <- var(imeans[c(41:80),3])

  setTxtProgressBar(pb, i)
}
close(pb)

p1 <- hist(theta_f[,1]/theta_f[,2], breaks = seq(0,6,0.06))       
fr <- theta_m[,1]/theta_m[,2]
fr <- fr[which(fr<30)]
p2 <- hist(fr, breaks = seq(0,30,0.06))



plot(-100,-100, xlim=c(0,6), ylim=c(0,800), 
     xlab="F-score", ylab = "counts [n out of 10 000]")
plot( p1, col=rgb(0,0,1,1/4), xlim=c(0,6), ylim=c(0,800), add=T)  # means based F-score
plot( p2, col=rgb(1,0,0,1/4), xlim=c(0,6), ylim=c(0,800), add=T)  # model based F-score
fr <- seq(0, 4, 0.01)
lines(fr,df(fr,39,39)*n*0.06,col=1)
legend(2, 800, c("means based F-score","mixed regression based F-score"), 
       fill=c(rgb(0,0,1,1/4),rgb(1,0,0,1/4)),box.col =NA, bg = NA)
legend(2, 760, c("F(39,39) distribution"), 
       lty=c(1),box.col = NA,bg = NA)
title(expression(paste(sigma[1]==0.5, " , ", sigma[2]==0.5, " and ", sigma[epsilon]==1)))

Một cách tương đối đơn giản có thể là sử dụng các thử nghiệm tỷ lệ khả năng thông qua anovanhư được mô tả trong lme4Câu hỏi thường gặp .

Chúng ta bắt đầu với một mô hình đầy đủ trong đó các phương sai không bị giới hạn (nghĩa là cho phép hai phương sai khác nhau) và sau đó khớp với một mô hình bị ràng buộc trong đó hai phương sai được giả sử là bằng nhau. Chúng tôi chỉ đơn giản so sánh chúng với anova()(lưu ý mà tôi đặt REML = FALSEmặc dù REML = TRUEvới anova(..., refit = FALSE)là hoàn toàn khả thi ).

m_full <- lmer(sim_1 ~ condition + (condition | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_full)$varcor
 # Groups         Name                  Std.Dev. Corr  
 # participant_id (Intercept)           0.48741        
 #                conditionexperimental 0.26468  -0.419
 # Residual                             1.02677     

m_red <- lmer(sim_1 ~ condition + (1 | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_red)$varcor
 # Groups         Name        Std.Dev.
 # participant_id (Intercept) 0.44734 
 # Residual                   1.03571 

anova(m_full, m_red)
# Data: d
# Models:
# m_red: sim_1 ~ condition + (1 | participant_id)
# m_full: sim_1 ~ condition + (condition | participant_id)
#        Df    AIC    BIC  logLik deviance  Chisq Chi Df Pr(>Chisq)
# m_red   4 2396.6 2415.3 -1194.3   2388.6                         
# m_full  6 2398.7 2426.8 -1193.3   2386.7 1.9037      2      0.386

Tuy nhiên, thử nghiệm này có khả năng bảo thủ . Ví dụ: Câu hỏi thường gặp nói:

Hãy nhớ rằng các thử nghiệm giả thuyết null dựa trên LRT là bảo thủ khi giá trị null (chẳng hạn như σ2 = 0) nằm trên ranh giới của không gian khả thi; trong trường hợp đơn giản nhất (phương sai hiệu ứng ngẫu nhiên đơn), giá trị p lớn gấp đôi so với mức cần thiết (Pinheiro và Bates 2000).

Có một số lựa chọn thay thế:

1. $\chi^2$
   

2. Mô phỏng phân phối chính xác bằng cách sử dụng RLRsim(như được mô tả trong Câu hỏi thường gặp).

Tôi sẽ trình bày tùy chọn thứ hai sau:

library("RLRsim")
## reparametrize model so we can get one parameter that we want to be zero:
afex::set_sum_contrasts() ## warning, changes contrasts globally
d <- cbind(d, difference = model.matrix(~condition, d)[,"condition1"])

m_full2 <- lmer(sim_1 ~ condition + (difference | participant_id), data=d, REML = FALSE)
all.equal(deviance(m_full), deviance(m_full2))  ## both full models are identical

## however, we need the full model without correlation!
m_full2b <- lmer(sim_1 ~ condition + (1| participant_id) + 
                   (0 + difference | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_full2b)$varcor
 # Groups           Name        Std.Dev.
 # participant_id   (Intercept) 0.44837 
 # participant_id.1 difference  0.13234 
 # Residual                     1.02677 

## model that only has random effect to be tested
m_red <- update(m_full2b,  . ~ . - (1 | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_red)$varcor
 # Groups         Name       Std.Dev.
 # participant_id difference 0.083262
 # Residual                  1.125116

## Null model 
m_null <- update(m_full2b,  . ~ . - (0 + difference | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_null)$varcor
 # Groups         Name        Std.Dev.
 # participant_id (Intercept) 0.44734 
 # Residual                   1.03571 

exactRLRT(m_red, m_full2b, m_null)
# Using restricted likelihood evaluated at ML estimators.
# Refit with method="REML" for exact results.
# 
#   simulated finite sample distribution of RLRT.
#   
#   (p-value based on 10000 simulated values)
# 
# data:  
# RLRT = 1.9698, p-value = 0.0719

Như chúng ta có thể thấy, đầu ra cho thấy rằng với REML = TRUEchúng ta sẽ có kết quả chính xác. Nhưng đây là một bài tập cho người đọc.

Về phần thưởng, tôi không chắc chắn nếu RLRsimcho phép thử nghiệm đồng thời nhiều thành phần, nhưng nếu vậy, điều này có thể được thực hiện theo cách tương tự.

---

Trả lời bình luận:

$\theta_X$$\theta_0$$X$

Tôi không chắc câu hỏi này có thể nhận được câu trả lời hợp lý.

• Một đánh chặn ngẫu nhiên cho phép một sự khác biệt bình dị trong cấp độ tổng thể cho từng cấp độ của yếu tố nhóm. Ví dụ: nếu biến phụ thuộc là thời gian phản hồi, một số người tham gia nhanh hơn và một số người chậm hơn.
• Độ dốc ngẫu nhiên cho phép mỗi cấp độ của yếu tố nhóm tạo ra hiệu ứng bình dị của yếu tố mà độ dốc ngẫu nhiên được ước tính. Ví dụ: nếu yếu tố là đồng đẳng, thì một số người tham gia có thể có hiệu ứng đồng thuận cao hơn những người khác.

Vì vậy, độ dốc ngẫu nhiên có ảnh hưởng đến đánh chặn ngẫu nhiên? Trong một số ý nghĩa, điều này có thể có ý nghĩa, vì chúng cho phép mỗi cấp độ của yếu tố nhóm tạo hiệu ứng hoàn toàn bình dị cho từng điều kiện. Cuối cùng, chúng tôi ước tính hai tham số idiosyncratic cho hai điều kiện. Tuy nhiên, tôi nghĩ rằng sự khác biệt giữa mức tổng thể được bắt bởi đánh chặn và hiệu ứng cụ thể theo điều kiện được bắt bởi độ dốc ngẫu nhiên là một điều quan trọng và sau đó độ dốc ngẫu nhiên không thể thực sự ảnh hưởng đến việc đánh chặn ngẫu nhiên. Tuy nhiên, nó vẫn cho phép mỗi cấp độ của yếu tố nhóm một trạng thái riêng biệt cho từng cấp độ của điều kiện.

Tuy nhiên, bài kiểm tra của tôi vẫn làm những gì câu hỏi ban đầu muốn. Nó kiểm tra xem sự khác biệt về phương sai giữa hai điều kiện có bằng không. Nếu nó bằng 0, thì phương sai trong cả hai điều kiện là bằng nhau. Nói cách khác, chỉ khi không cần độ dốc ngẫu nhiên thì phương sai trong cả hai điều kiện giống hệt nhau. Tôi hy vọng điều đó đúng.

Mô hình của bạn

m = lmer(sim_1 ~ condition + (condition | participant_id), data=d)

đã cho phép phương sai giữa các chủ thể trong điều kiện điều khiển khác với phương sai giữa các chủ thể trong điều kiện thí nghiệm. Điều này có thể được làm rõ hơn bằng cách tái tham số tương đương:

m = lmer(sim_1 ~ 0 + condition + (0 + condition | participant_id), data=d)

Ma trận hiệp phương sai ngẫu nhiên bây giờ có một cách hiểu đơn giản hơn:

Random effects:
 Groups         Name                  Variance Std.Dev. Corr
 participant_id conditioncontrol      0.2464   0.4963       
                conditionexperimental 0.2074   0.4554   0.83

Ở đây, hai phương sai chính xác là hai phương sai mà bạn quan tâm: phương sai [giữa các chủ thể] của các phản ứng trung bình có điều kiện trong điều kiện kiểm soát và giống nhau trong điều kiện thí nghiệm. Trong tập dữ liệu mô phỏng của bạn, chúng là 0,25 và 0,21. Sự khác biệt được đưa ra bởi

delta = as.data.frame(VarCorr(m))[1,4] - as.data.frame(VarCorr(m))[2,4]

và bằng 0,039. Bạn muốn kiểm tra nếu nó khác đáng kể so với không.

EDIT: Tôi nhận ra rằng thử nghiệm hoán vị mà tôi mô tả dưới đây là không chính xác; nó sẽ không hoạt động như dự định nếu các phương tiện trong điều kiện thử nghiệm / điều kiện không giống nhau (vì khi đó các quan sát không thể trao đổi dưới giá trị null). Có thể là một ý tưởng tốt hơn để khởi động các chủ đề (hoặc chủ đề / vật phẩm trong trường hợp Tiền thưởng) và có được khoảng tin cậy chodelta .

Tôi sẽ cố gắng sửa mã dưới đây để làm điều đó.

---

Đề xuất dựa trên hoán vị gốc (sai)

Tôi thường thấy rằng người ta có thể tự cứu mình rất nhiều rắc rối bằng cách làm một bài kiểm tra hoán vị. Thật vậy, trong trường hợp này rất dễ thiết lập. Hãy cho phép điều khiển / điều kiện thí nghiệm riêng biệt cho từng đối tượng; sau đó bất kỳ sự khác biệt trong phương sai nên được loại bỏ. Lặp đi lặp lại nhiều lần sẽ mang lại phân phối null cho sự khác biệt.

(Tôi không lập trình bằng R; mọi người vui lòng viết lại phần sau theo kiểu R tốt hơn.)

set.seed(42)
nrep = 100
v = matrix(nrow=nrep, ncol=1)
for (i in 1:nrep)
{
   dp = d
   for (s in unique(d$participant_id)){             
     if (rbinom(1,1,.5)==1){
       dp[p$participant_id==s & d$condition=='control',]$condition = 'experimental'
       dp[p$participant_id==s & d$condition=='experimental',]$condition = 'control'
     }
   }
  m <- lmer(sim_1 ~ 0 + condition + (0 + condition | participant_id), data=dp)
  v[i,] = as.data.frame(VarCorr(m))[1,4] - as.data.frame(VarCorr(m))[2,4]
}
pvalue = sum(abs(v) >= abs(delta)) / nrep

$p=0.7$nrep lên 1000 hoặc hơn.

Chính xác logic tương tự có thể được áp dụng trong trường hợp Tiền thưởng của bạn.

Nhìn vào vấn đề này từ một góc nhìn hơi khác và bắt đầu từ dạng "chung" của mô hình hỗn hợp tuyến tính, chúng ta có

$$y_{ijk} = \mu + \alpha_j + d_{ij} + e_{ijk}, \quad d_{i} \sim N(0, \Sigma), \quad e_{ijk} \sim N(0, \sigma^2)$$ Ở đâu $\alpha_j$ là hiệu ứng cố định của $j$điều kiện và $d_i = (d_{i1}, \ldots, d_{iJ})^\top$ là một vectơ ngẫu nhiên (một số người gọi nó là hiệu ứng ngẫu nhiên có giá trị vectơ, tôi nghĩ vậy) cho $i$người tham gia $j$Điều kiện thứ.
Trong ví dụ của bạn, chúng tôi có hai điều kiện$y_{i1k}$ và $y_{i2k}$ mà tôi sẽ biểu thị là $A$ và $B$trong những gì sau đây. Vậy ma trận hiệp phương sai của vectơ ngẫu nhiên hai chiều$d_{i}$ có dạng chung

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_A & \sigma_{AB}\\ \sigma_{AB} & \sigma^2_{B} \end{bmatrix}$$

không âm $\sigma^2_A$ và $\sigma^2_{B}$.

Trước tiên chúng ta hãy xem phiên bản tái tham số hóa của $\Sigma$ trông khi chúng ta sử dụng tổng tương phản.

Phương sai của đánh chặn, tương ứng với trung bình lớn, là

$$\sigma^2_{1} := \text{Var(grand mean)} = \text{Var}(\frac{1}{2} \cdot (A+B)) = \frac{1}{4} \cdot (\text{Var}(A) + \text{Var}(B) + 2 \cdot \text{Cov}(A,B)).$$

Phương sai của độ tương phản là

$$\sigma^2_{2} := \text{Var(contrast)} = \text{Var}(\frac{1}{2} \cdot (A-B)) = \frac{1}{4} \cdot (\text{Var}(A) + \text{Var}(B) - 2 \cdot \text{Cov}(A,B)).$$

And the covariance between the intercept and the contrast is

$$\sigma_{12} := \text{Cov}(\text{grand mean, contrast}) = \text{Cov}(\frac{1}{2} \cdot (A+B), \frac{1}{2} \cdot (A-B)) \\ = \frac{1}{4} \cdot (\text{Var}(A) - \text{Var}(B)).$$

Thus, the re-parameterized $\Sigma$ is

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 + \sigma^2_2 + 2\sigma_{12} & \sigma^2_1 - \sigma^2_2\\ \sigma^2_1 - \sigma^2_2 & \sigma^2_1 + \sigma^2_2 - 2\sigma_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sigma^2_A & \sigma_{AB}\\ \sigma_{AB} & \sigma^2_{B} \end{bmatrix}.$$

$\Sigma$ can be decomposed into

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\sigma^2_2 & -\sigma^2_2\\ -\sigma^2_2 & \sigma^2_2\end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix}\sigma_{12} & 0\\ 0 & -\sigma_{12}\end{bmatrix}.$$

Setting the covariance parameter $\sigma_{12}$ to zero we get

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\sigma^2_2 & -\sigma^2_2\\ -\sigma^2_2 & \sigma^2_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 + \sigma^2_2 & \sigma^2_1 - \sigma^2_2 \\ \sigma^2_1 - \sigma^2_2 & \sigma^2_1 + \sigma^2_2\end{bmatrix}$$

which, as @Jake Westfall derived slightly differently, tests the hypothesis of equal variances when we compare a model without this covariance parameter to a model where the covariance parameter is still included/not set to zero.

Notably, introducing another crossed random grouping factor (such as stimuli) does not change the model comparison that has to be done, i.e., anova(mod1, mod2) (optionally with the argument refit = FALSE when you use REML estimation) where mod1 and mod2 are defined as @Jake Westfall did.

Taking out $\sigma_{12}$ and the variance component for the contrast $\sigma^2_2$ (what @Henrik suggests) results in

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix}$$

which tests the hypothesis that the variances in the two conditions are equal and that they are equal to the (positive) covariance between the two conditions.

---

When we have two conditions, a model that fits a covariance matrix with two parameters in a (positive) compound symmetric structure can also be written as

# code snippet from Jake Westfall
d$contrast <- 2*(d$condition == 'experimental') - 1

# new model
mod3 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (1 | participant_id) + (1 | contrast:participant_id), 
             data = d, REML = FALSE) 

or (using the categorical variable/factor condition)

mod4 <- lmer(sim_1 ~ condition + (1 | participant_id) + (1 | condition:participant_id), 
             data = d, REML = FALSE)

with

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 + \sigma^2_2 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1 + \sigma^2_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\sigma^2_2 & 0\\ 0 & \sigma^2_2\end{bmatrix}$$

where $\sigma^2_1$ and $\sigma^2_2$ are the variance parameters for the participant and the participant-condition-combination intercepts, respectively. Note that this $\Sigma$ has a non-negative covariance parameter.

Below we see that mod1, mod3, and mod4 yield equivalent fits:

# code snippet from Jake Westfall
d$contrast <- 2*(d$condition == 'experimental') - 1

mod1 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (contrast || participant_id),
             data = d, REML = FALSE)

mod2 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (contrast | participant_id),
             data = d, REML = FALSE)

# new models 
mod3 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (1 | participant_id) + (1 | contrast:participant_id), 
             data = d, REML = FALSE) 

mod4 <- lmer(sim_1 ~ condition + (1 | participant_id) + (1 | condition:participant_id), 
             data = d, REML = FALSE)

anova(mod3, mod1)
# Data: d
# Models:
# mod3: sim_1 ~ contrast + (1 | participant_id) + (1 | contrast:participant_id)
# mod1: sim_1 ~ contrast + ((1 | participant_id) + (0 + contrast | participant_id))
#      Df    AIC    BIC  logLik deviance Chisq Chi Df Pr(>Chisq)
# mod3  5 2396.9 2420.3 -1193.5   2386.9                        
# mod1  5 2396.9 2420.3 -1193.5   2386.9     0      0          1

anova(mod4, mod3)
# Data: d
# Models:
# mod4: sim_1 ~ condition + (1 | participant_id) + (1 | condition:participant_id)
# mod3: sim_1 ~ contrast + (1 | participant_id) + (1 | contrast:participant_id)
#      Df    AIC    BIC  logLik deviance Chisq Chi Df Pr(>Chisq)
# mod4  5 2396.9 2420.3 -1193.5   2386.9                        
# mod3  5 2396.9 2420.3 -1193.5   2386.9     0      0          1

---

With treatment contrasts (the default in R) the re-parameterized $\Sigma$ is

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1 + \sigma_{12}\\ \sigma^2_1 + \sigma_{12} & \sigma^2_1 + \sigma^2_2 + 2\sigma_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & \sigma^2_2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 & \sigma_{12}\\ \sigma_{12} & 2\sigma_{12}\end{bmatrix}$$

where $\sigma^2_1$ is the variance parameter for the intercept (condition $A$), $\sigma^2_2$ the variance parameter for the contrast ($A - B$), and $\sigma_{12}$ the corresponding covariance parameter.

We can see that neither setting $\sigma_{12}$ to zero nor setting $\sigma^2_2$ to zero tests (only) the hypothesis of equal variances.

However, as shown above, we can still use mod4 to test the hypothesis as changing the contrasts has no impact on the parameterization of $\Sigma$ for this model.