Giá trị kỳ vọng của logarit của phân phối Gamma là gì?

Nếu giá trị mong đợi của là , giá trị mong đợi của ? Nó có thể được tính toán phân tích?$\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta)$$\frac{\alpha}{\beta}$$\log(\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta))$

Các tham số tôi đang sử dụng là tỷ lệ hình dạng.

Điều này (có thể đáng ngạc nhiên) có thể được thực hiện với các thao tác cơ bản dễ dàng (sử dụng thủ thuật yêu thích của Richard Feynman để phân biệt dưới dấu tích phân đối với tham số).

---

Chúng tôi đang giả $X$ có $\Gamma(\alpha,\beta)$ phân phối và chúng tôi mong muốn tìm ra kỳ vọng của $Y=\log(X).$ Thứ nhất, vì $\beta$ là một tham số quy mô, hiệu quả của nó sẽ là chuyển logarit bởi $\log\beta.$ (Nếu bạn sử dụng $\beta$ như một tỷ lệ tham số, như trong câu hỏi, nó sẽ chuyển logarit bởi $-\log\beta.$ ) Này cho phép chúng tôi làm việc với các trường hợp $\beta=1.$

Sau khi đơn giản hóa này, phần tử xác suất của $X$ là

$$f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}$$

nơi $\Gamma(\alpha)$ là hằng số bình thường

$$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}.$$

Thay thế $x=e^y,$ đòi hỏi $\mathrm{d}x/x = \mathrm{d}y,$ đưa ra phần tử xác suất của $Y$ ,

$$f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.$$

Các giá trị có thể có của $Y$ tại dao động trên tất cả các số thực $\mathbb{R}.$

Bởi vì $f_Y$ phải hòa nhập với sự thống nhất, chúng tôi có được (tầm thường)

$$\Gamma(\alpha) = \int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.\tag{1}$$

Lưu ý $f_Y(y)$ là một hàm phân biệt của $\alpha.$Một phép tính dễ dàng cho

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = y\, e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = \Gamma(\alpha) y\,f_Y(y).$$

Bước tiếp theo khai thác mối quan hệ thu được bằng cách chia cả hai bên về bản sắc này bằng cách $\Gamma(\alpha),$ qua đó để lộ rất phản đối chúng ta cần phải tích hợp để tìm sự mong đợi; cụ thể là, $y f_Y(y):$

$$\eqalign{ \mathbb{E}(Y) &= \int_\mathbb{R} y\, f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_\mathbb{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y\\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\Gamma(\alpha)\\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\log\Gamma(\alpha)\\ &=\psi(\alpha), }$$

đạo hàm logarit của hàm gamma (hay còn gọi là " polygamma "). Tích phân được tính bằng cách sử dụng danh tính $(1).$

Re-giới thiệu các yếu tố $\beta$ show kết quả chung được

$$\mathbb{E}(\log(X)) = \log\beta + \psi(\alpha)$$

cho một tham số hóa quy mô (nơi hàm mật độ phụ thuộc vào $x/\beta$ ) hoặc

$$\mathbb{E}(\log(X)) = -\log\beta + \psi(\alpha)$$

cho tham số hóa tỷ lệ (trong đó hàm mật độ phụ thuộc vào $x\beta$ ).

Câu trả lời của @whuber khá hay; Về cơ bản, tôi sẽ khôi phục câu trả lời của anh ấy ở dạng tổng quát hơn, kết nối (theo ý kiến ​​của tôi) tốt hơn với lý thuyết thống kê, và điều này làm rõ sức mạnh của kỹ thuật tổng thể.

$\{F_\theta : \theta \in \Theta\}$

$$f_\theta(x) = \exp\left\{s(x)\theta - A(\theta) + h(x)\right\}$$
$$\int f_\theta(x) \ dx = 1$$ $\theta$ $$\int f'_\theta(x) = \int \frac{f'_\theta(x)}{f_\theta(x)} f_\theta(x) = \int u_\theta(x) \, f_\theta(x) \ dx = 0 \tag{$\dagger$}$$ $u_\theta(x) = \frac d {d\theta} \log f_\theta(x)$$f'_\theta(x) = \frac{d}{d\theta} f_\theta(x)$ $$u_\theta(x) = s(x) - A'(\theta)$$ $A'(\theta) = \frac d {d\theta} A(\theta)$$(\dagger)$$E_\theta[s(X)] = A'(\theta)$

$\beta$

$$f_\theta(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} = \exp\left\{\log(x) \alpha + \alpha \log \beta - \log \Gamma(\alpha) - \beta x \right\}.$$ $\alpha$$s(x) = \log x$$A(\alpha) = \log \Gamma(\alpha) - \alpha \log \beta$$\frac d {d\alpha} A(\alpha)$ $$E[\log X] = \psi(\alpha) - \log \beta.$$