Nếu là IID, thì hãy tính , trong đó

Câu hỏi

Nếu là IID, thì hãy tính , trong đó .$X_1,\cdots,X_n \sim \mathcal{N}(\mu, 1)$$\mathbb{E}\left( X_1 \mid T \right)$$T = \sum_i X_i$

---

Cố gắng : Vui lòng kiểm tra nếu dưới đây là chính xác.

Giả sử, chúng tôi lấy tổng của những kỳ vọng có điều kiện sao cho, Có nghĩa là mỗi kể từ là IID.

$$\begin{align} \sum_i \mathbb{E}\left( X_i \mid T \right) = \mathbb{E}\left( \sum_i X_i \mid T \right) = T . \end{align}$$ $\mathbb{E}\left( X_i \mid T \right) = \frac{T}{n}$$X_1,\ldots,X_n$

Do đó, . Nó có đúng không?$\mathbb{E}\left( X_1 \mid T \right) = \frac{T}{n}$

Ý tưởng này đúng - nhưng có một câu hỏi thể hiện nó chặt chẽ hơn một chút. Do đó tôi sẽ tập trung vào ký hiệu và phơi bày bản chất của ý tưởng.

---

Hãy bắt đầu với ý tưởng về khả năng trao đổi:

Một biến ngẫu nhiên $\mathbf X=(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ là trao đổi khi các bản phân phối của các biến hoán vị $\mathbf{X}^\sigma=(X_{\sigma(1)}, X_{\sigma(2)}, \ldots, X_{\sigma(n)})$ đều như nhau cho tất cả các hoán vị có thể $\sigma$ .

Rõ ràng iid ngụ ý trao đổi.

Là một vấn đề về ký hiệu, hãy viết cho thành phần của và để$X^\sigma_i = X_{\sigma(i)}$$i^\text{th}$$\mathbf{X}^\sigma$

$$T^\sigma = \sum_{i=1}^n X^\sigma_i = \sum_{i=1}^n X_i = T.$$

Đặt là bất kỳ chỉ mục nào và đặt là bất kỳ hoán vị nào của các chỉ số gửi đến (Một như vậy tồn tại bởi vì người ta luôn có thể trao đổi và ) Khả năng trao đổi của ngụ ý$j$$\sigma$$1$$j = \sigma(1).$$\sigma$$1$$j.$$\mathbf X$

$$E[X_1\mid T] = E[X^\sigma_1\mid T^\sigma] = E[X_j\mid T],$$

bởi vì (trong bất đẳng thức đầu tiên) chúng ta chỉ thay thế bằng vectơ phân phối giống hệtĐây là mấu chốt của vấn đề.$\mathbf X$$\mathbf X^\sigma.$

hậu quả là

$$T = E[T \mid T] = E[\sum_{i=1}^n X_i\mid T] = \sum_{i=1}^n E[X_i\mid T] = \sum_{i=1}^n E[X_1\mid T] = n E[X_1 \mid T],$$

từ đâu

$$E[X_1\mid T] = \frac{1}{n} T.$$

$\newcommand{\one}{\mathbf 1}$ Đây không phải là bằng chứng (và +1 cho câu trả lời của @ whuber), nhưng đó là một cách hình học để xây dựng một số trực giác về lý do tại sao là một câu trả lời hợp lý.$E(X_1 | T) = T/n$

Đặt và nên . Sau đó, chúng tôi sẽ điều chỉnh sự kiện rằng đối với một số , vì vậy điều này giống như vẽ các Gaussian đa biến được hỗ trợ trên nhưng chỉ nhìn vào những cái cuối cùng trong affine không gian . Sau đó, chúng tôi muốn biết trung bình của tọa độ của các điểm hạ cánh trong không gian affine này (đừng bận tâm rằng đó là tập hợp con số 0).$X = (X_1,\dots,X_n)^T$$\one = (1,\dots,1)^T$$T = \one^TX$$\one^TX = t$$t \in \mathbb R$$\mathbb R^n$$\{x \in \mathbb R^n : \one^Tx = t\}$$x_1$

Chúng ta biết vì vậy chúng ta đã có một Gaussian hình cầu có vectơ trung bình không đổi và vectơ trung bình nằm trên cùng một đường thẳng với vectơ bình thường của siêu phẳng .

$$X \sim \mathcal N(\mu \one, I)$$ $\mu\one$$x^T\one = 0$

Điều này cho chúng ta một tình huống như hình dưới đây:

Ý tưởng chính: đầu tiên hãy tưởng tượng mật độ trên không gian con affine . Mật độ của đối xứng quanh vì . Mật độ cũng sẽ đối xứng trên vì cũng đối xứng trên cùng một đường và điểm xung quanh nó đối xứng là giao điểm của các đường và . Điều này xảy ra với .$H_t := \{x : x^T\one = t\}$$X$$x_1 = x_2$$E(X) \in \text{span } \one$$H_t$$H_t$$x_1 + x_2 = t$$x_1 = x_2$$x = (t/2, t/2)$

Để hình ảnh chúng ta có thể tưởng tượng việc lấy mẫu lặp đi lặp lại, và sau đó bất cứ khi nào chúng ta nhận được một điểm trong chúng ta chỉ lấy tọa độ và lưu nó. Từ tính đối xứng của mật độ trên , phân bố tọa độ cũng sẽ đối xứng và nó sẽ có cùng điểm trung tâm là . Giá trị trung bình của phân bố đối xứng là điểm trung tâm của đối xứng nên điều này có nghĩa là và rằng vì và có thể được loại bỏ mà không ảnh hưởng bất cứ điều gì$E(X_1 | T)$$H_t$$x_1$$H_t$$x_1$$t/2$$E(X_1 | T) = T/2$$E(X_1| T) = E(X_2 | T)$$X_1$$X_2$

Ở các chiều cao hơn, điều này trở nên khó (hoặc không thể) để hình dung chính xác, nhưng ý tưởng tương tự cũng được áp dụng: chúng ta có một Gaussian hình cầu với trung bình trong khoảng , và chúng ta đang nhìn vào một không gian con affine vuông góc với nó . Điểm cân bằng của phân phối trên không gian con vẫn sẽ là giao điểm của và nằm ở và mật độ vẫn đối xứng nên điểm cân bằng này lại là giá trị trung bình.$\one$$\text{span }\one$$\{x : x^T\one = t\}$$x=(t/n, \dots, t/n)$

Một lần nữa, đó không phải là một bằng chứng, nhưng tôi nghĩ rằng nó đưa ra một ý tưởng đúng đắn về lý do tại sao bạn mong đợi hành vi này ngay từ đầu.

---

Ngoài ra, như một số người như @StubbornAtom đã lưu ý, điều này thực sự không yêu cầu phải là Gaussian. Trong 2-D, lưu ý rằng nếu có thể trao đổi thì (nói chung hơn, ) vì vậy phải đối xứng với dòng . Chúng tôi cũng có vì vậy mọi thứ tôi đã nói liên quan đến "ý tưởng chính" trong bức ảnh đầu tiên vẫn giữ chính xác. Đây là một ví dụ trong đó là iid từ mô hình hỗn hợp Gaussian. Tất cả các dòng có cùng ý nghĩa như trước.$X$$X$$f(x_1, x_2) = f(x_2, x_1)$$f(x) = f(x^\sigma)$$f$$x_1 = x_2$$E(X) \in \text{span }\one$$X_i$

Tôi nghĩ rằng câu trả lời của bạn là đúng, mặc dù tôi không hoàn toàn chắc chắn về dòng kẻ giết người trong bằng chứng của bạn, về nó là sự thật "bởi vì chúng là iid". Một cách dài dòng hơn cho cùng một giải pháp như sau:

Hãy suy nghĩ về ý nghĩa của . Bạn biết rằng bạn có một mẫu với N số đọc và ý nghĩa của chúng là T. Điều này thực sự có nghĩa là gì, bây giờ, phân phối cơ bản mà chúng được lấy mẫu không còn quan trọng nữa (bạn sẽ không nhận ra bạn đã sử dụng thực tế. lấy mẫu từ một Gaussian trong bằng chứng của bạn).$\mathbb{E}(x_{i}|T)$

$\mathbb{E}(x_{i}|T)$ là câu trả lời cho câu hỏi, nếu bạn lấy mẫu từ mẫu của mình, với sự thay thế nhiều lần, mức trung bình bạn thu được là bao nhiêu. Đây là tổng trên tất cả các giá trị có thể, nhân với xác suất của chúng hoặc bằng T.$\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{N}x_{i}$