Poisson là theo cấp số nhân như Gamma-Poisson là gì?

Phân phối Một Poisson có thể đo lường sự kiện mỗi đơn vị thời gian, và tham số là $\lambda$ . Phân phối theo cấp số nhân đo thời gian cho đến sự kiện tiếp theo, với tham số $\frac{1}{\lambda}$ . Người ta có thể chuyển đổi một phân phối thành phân phối khác, tùy thuộc vào việc mô hình hóa các sự kiện hoặc thời gian dễ dàng hơn.

Bây giờ, một gamma-poisson là một poisson "kéo dài" với phương sai lớn hơn. Một phân phối Weibull là một hàm mũ "kéo dài" với phương sai lớn hơn. Nhưng hai cái này có thể dễ dàng chuyển đổi thành nhau, theo cùng một cách Poisson có thể được chuyển đổi thành cấp số nhân?

Hoặc có một số phân phối khác phù hợp hơn để sử dụng kết hợp với phân phối gamma-poisson?

Gamma-poisson còn được gọi là phân phối nhị thức âm, hay NBD.

— zbicyclist
nguồn

Câu trả lời:

Đây là một vấn đề khá thẳng về phía trước. Mặc dù có một mối liên hệ giữa các phân phối nhị phân Poisson và âm, nhưng tôi thực sự nghĩ rằng điều này không có ích cho câu hỏi cụ thể của bạn vì nó khuyến khích mọi người nghĩ về các quá trình nhị thức âm. Về cơ bản, bạn có một loạt các quy trình Poisson:

Y_{i} (t_{i}) | λ_{i} \sim P o i s s o n (λ_{i} t_{i})

$Y_i(t_i)|\lambda_i\sim Poisson(\lambda_i t_i)$

Trong đó là quá trình và là thời gian bạn quan sát nó và biểu thị các cá nhân. Và bạn đang nói rằng các quy trình này là "tương tự" bằng cách buộc các tỷ lệ với nhau bằng một phân phối: $Y_i$ $t_i$ $i$

λ_{i} \sim G a m m a (α, β)

$\lambda_i\sim Gamma(\alpha,\beta)$

Khi thực hiện tích hợp / kết hợp với , bạn có: $\lambda_i$

Y_{i} (t_{i}) | α β \sim N e g B i n (α, p_{i}) w h e r e p_{i} = \frac{t_{i}}{t_{i} + β}

$Y_i(t_i)|\alpha\beta\sim NegBin(\alpha,p_i)\;\;\; where \;\;p_i=\frac{t_i}{t_i+\beta}$

Điều này có một pmf của:

P r (Y_{i} (t_{i}) = y_{i} | α β) = \frac{Γ (α + y_{i})}{Γ (α) y_{i}!} p_{i}^{y_{i}} (1 - p_{i})^{α}

$Pr(Y_i(t_i)=y_i|\alpha\beta) = \frac{\Gamma(\alpha+y_i)}{\Gamma(\alpha)y_i!}p_i^{y_i}(1-p_i)^\alpha$

Để có được phân phối thời gian chờ đợi, chúng tôi lưu ý rằng:

P r (T_{i} \leq t_{i} | α β) = 1 - P r (T_{i} > t_{i} | α β) = 1 - P r (Y_{i} (t_{i}) = 0 | α β)

$Pr(T_i\leq t_i|\alpha\beta)=1-Pr(T_i> t_i|\alpha\beta)=1-Pr(Y_i(t_i)=0|\alpha\beta)$

= 1 - (1 - p_{i})^{α} = 1 - {(1 + \frac{t_{i}}{β})}^{- α}

$=1-(1-p_i)^\alpha=1-\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-\alpha}$

Phân biệt điều này và bạn có bản PDF:

p_{T_{i}} (t_{i} | α β) = \frac{α}{β} {(1 + \frac{t_{i}}{β})}^{- (α + 1)}

$p_{T_i}(t_i|\alpha\beta)=\frac{\alpha}{\beta}\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-(\alpha+1)}$

Đây là thành viên của bản phân phối Pareto tổng quát, loại II. Tôi sẽ sử dụng điều này như phân phối thời gian chờ đợi của bạn.

Để xem kết nối với phân phối Poisson, lưu ý rằng , do đó nếu chúng ta đặt $\frac{\alpha}{\beta}=E(\lambda_i|\alpha\beta)$ và sau đó đi quá giới hạnta có: $\beta=\frac{\alpha}{\lambda}$ $\alpha\to\infty$

lim_{α \to \infty} \frac{α}{β} {(1 + \frac{t_{i}}{β})}^{- (α + 1)} = lim_{α \to \infty} λ {(1 + \frac{λ t_{i}}{α})}^{- (α + 1)} = λ \exp (- λ t_{i})

$\lim_{\alpha\to\infty}\frac{\alpha}{\beta}\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-(\alpha+1)}=\lim_{\alpha\to\infty}\lambda\left(1+\frac{\lambda t_i}{\alpha}\right)^{-(\alpha+1)}=\lambda\exp(-\lambda t_i)$

Điều này có nghĩa là bạn có thể giải thích là một tham số phân tán quá mức. $\frac{1}{\alpha}$

— xác suất
nguồn

Bạn cũng có thể lưu ý rằng phân phối thời gian chờ là, đại khái là phân phối theo cấp số nhân với tham số tỷ lệ ngẫu nhiên Gamma và nói đúng đây là phân phối Beta của loại thứ hai, như đối với bất kỳ phân phối Gamma nào có tham số tỷ lệ ngẫu nhiên Gamma.

— Stéphane Laurent

Sử dụng @probabilityislogic làm cơ sở, tôi thấy bài viết sau đây cung cấp chi tiết hơn về mối quan hệ giữa NBD và Pareto: Gupta, Sunil và Donald G. Morrison. Ước tính không đồng nhất trong giá mua của người tiêu dùng. Khoa học tiếp thị, 1991, 10 (3), 264-269. Cảm ơn tất cả những người đã giúp tôi trả lời câu hỏi này.

— zbicyclist

+1, tôi đoán dạng phân tích tốt đẹp này có thể không còn tồn tại cho

, trong đó

là hằng số.

P o i s s o n (λ_{i} t_{i} + c)

$Poisson(\lambda_i t_i + c)$

c

$c$

— Randel

@randel - bạn có thể có được một hình thức "đẹp-ish" bằng cách lưu ý rv này là tổng của hai rv độc lập ...

trong đó

giống như trên và

. Vì

không phụ thuộc vào

hoặc

pdf của

là tích chập của pdf nhị thức âm ở trên và pdf poisson. Để có được phân phối thời gian chờ, chỉ cần nhân

Z_{i} = Y_{i} + X_{i}

$Z_i=Y_i+X_i$

Y_{i}

$Y_i$

X_{i} \sim p o i s s o n (c)

$X_i\sim poisson (c)$

X_{i}

$X_i$

λ_{i}

$\lambda_i$

Y_{i}

$Y_i$

Z_{i}

$Z_i$

trong câu trả lời trên bởi

. Sau đó, bạn nhận được thời gian chờ cdf là

P r (Y_{i} = 0)

$Pr(Y_i=0)$

P r (X_{i} = 0) = e^{- c}

$Pr(X_i=0)=e^{-c}$

và pdf của

1 - e^{- c} {(1 + \frac{t_{i}}{β})}^{- α}

$1-e^{-c}\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-\alpha}$

e^{- c} \frac{α}{β} {(1 + \frac{t_{i}}{β})}^{- (α + 1)}

$e^{-c}\frac {\alpha}{\beta}\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-(\alpha+1)}$

— xác suất

Điều này sẽ không hoạt động về mặt phân phối trộn, bởi vì bạn cần

(nếu không thì ý nghĩa của poisson là âm). Phân phối trộn gamma sẽ cần phải được cắt bớt (Tôi cũng giả sử rằng

trong câu trả lời trước của tôi). Điều này có nghĩa là không có phân phối nb.

λ_{i} < c t_{i}^{- 1}

$\lambda_i <ct_i^{-1}$

c > 0

$c>0$

— xác suất

Một khả năng: Poisson là theo cấp số nhân là nhị phân âm là ... cấp số nhân!

Có một quá trình Lévy tăng vọt thuần túy được gọi là Quá trình nhị thức âm tính sao cho tại thời điểm giá trị có phân phối nhị thức âm. Không giống như quá trình Poisson, các bước nhảy gần như không chắc chắn . Thay vào đó, họ theo một phân phối logarit . Theo định luật tổng phương sai , một số phương sai xuất phát từ số lần nhảy (được chia theo kích thước trung bình của các lần nhảy) và một số phương sai xuất phát từ kích thước của các lần nhảy và bạn có thể sử dụng điều này để kiểm tra xem là quá liều. $t$ $1$

Có thể có những mô tả hữu ích khác. Xem "Đóng khung phân phối nhị thức âm cho trình tự DNA."

Hãy để tôi nói rõ hơn về cách Quy trình nhị thức âm được mô tả ở trên có thể được xây dựng.

$p \lt 1$
$X_1, X_2, X_3, ...$ $P(x_i = k) = \frac{-1}{\log(1-p)} \frac{p^k}{k}.$
$N$ $-\log(1-p)$ $N(t) = \text{Pois}(-t \log(1-p)).$
$NBP$

N B P (t) = \sum_{i = 1}^{N (t)} X_{i} .

$NBP(t) = \sum_{i=1}^{N(t)} X_i.$

$NBP$ $-\log(1-p).$

$NBP(t)$ has a negative binomial $NB(t,p)$ distribution, but there is a short proof using probability generating functions on Wikipedia, and Fisher also proved this when he introduced the logarithmic distribution to analyze the relative frequencies of species.

— Douglas Zare
nguồn

No, any compound Poisson process has an exponential waiting time. This means you add

Pois (λ t)

$\text{Pois}(\lambda t)$ IID random variables with some distribution.

— Douglas Zare

No, that is not what is meant by a compound Poisson process. en.wikipedia.org/wiki/Compound_Poisson_process " The jumps arrive randomly according to a Poisson process and the size of the jumps is also random, with a specified probability distribution." I did not say IID Poisson variables. You take the

N

$N$ th partial sum of IID logarithmic random variables where

N

$N$ is the value of a Poisson process.

— Douglas Zare

If you multiply a Poisson process by

2

$2$ , this is not a Poisson process and the waiting times remain exponential.

— Douglas Zare

let us continue this discussion in chat

— Douglas Zare

I am not able to comment yet so I apologize is this isn't a definitive solution.

You are asking for the appropriate distribution to use with an NB but appropriate isn't entirely defined. If an appropriate distribution means appropriate for explaining data and you are starting with an overdispersed Poisson then you may have to look further into the cause of the overdispersion. The NB doesn't distinguish between a Poisson with heterogeneous means or a positive occurrence dependence (that one event occurring increases the probability of another occurring). In continuous time there is also duration dependence, eg positive duration dependence means the passage of time increases the probability of an occurrence. It was also shown that negative duration dependence asymptotically causes an overdispersed Poisson[1]. This adds to the list of what might be the appropriate waiting time model.

— Meadowlark Bradsher
nguồn

cause of the overdispersion: This is consumer purchase data. Individual consumers are poisson, each with a rate of purchase lambda. But not every consumer has the same lambda -- that's the cause of the overdispersion. The lambda purchasing rates are considered to be distributed as gamma. This is a common model (traces back to A.S.C. Ehrenberg), but I haven't found anything in his writing that answers this question.

— zbicyclist