Tính giá trị kỳ vọng cắt ngắn bình thường

Sử dụng kết quả tỷ lệ xay, hãy để , sau đó $X \sim N(\mu, \sigma^2)$

$E(X| X<\alpha) = \mu - \sigma\frac{\phi(\frac{a- \mu}{\sigma})}{\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})}$

Tuy nhiên, khi tính toán bằng R. Tôi không thu được kết quả chính xác như

> mu <- 1
> sigma <- 2 
> a <- 3 
> x <- rnorm(1000000, mu, sigma) 
> x <- x[x < a] 
> mean(x)
[1] 0.4254786
> 
> mu -  sigma * dnorm(a, mu, sigma) / pnorm(a, mu, sigma)
[1] 0.7124

Tôi đang làm gì sai?

— Kozolovska
nguồn

Việc triển khai công thức của bạn sai vì, Như bạn thấy, chúng tôi có thêm trong mẫu số của , mang lại: cung cấp cho bạn , trong đó bạn cần nhân nó với để có được . Vì , điều này thực tế có thể được thực hiện thông qua việc trừ đi thuật ngữ thứ hai một lần nữa, đó là

ϕ (\frac{x - μ}{σ}) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}} \neq f_{X, μ, σ} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}

$\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\neq f_{X,\mu,\sigma}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$

σ

$\sigma$

f_{X, μ, σ} (x)

$f_{X,\mu,\sigma}(x)$

ϕ (\frac{x - μ}{σ}) = σ f_{X, μ, σ} (x)

$\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\sigma f_{X,\mu,\sigma}(x)$ dnorm

f_{X, μ, σ} (x)

$f_{X,\mu,\sigma}(x)$

σ

$\sigma$

ϕ

$\phi$

σ = 2

$\sigma=2$

1 - 0.7124 = 0.2876

$1-0.7124=0.2876$ : gần với ước tính của bạn.

1 - 0.2876 - 0.2876 = 0.4247

$1-0.2876-0.2876=0.4247$

— những giai điệu
nguồn