Ước tính tham số của phân bố mũ với lấy mẫu sai lệch

Tôi muốn tính toán tham số của phân bố mũ từ một quần thể mẫu được đưa ra khỏi phân phối này trong các điều kiện sai lệch. Theo như tôi biết, đối với một mẫu gồm n giá trị, công cụ ước tính thông thường là . Tuy nhiên mẫu của tôi bị sai lệch như sau:e - λ x λ = $\lambda$$e^{-\lambda x}$$\hat{\lambda} = \frac{n}{\sum x_i}$

Từ một quần thể hoàn chỉnh gồm các phần tử m được rút ra từ phân bố mũ, chỉ có n phần tử nhỏ nhất được biết đến. Làm cách nào để ước tính tham số trong kịch bản này?$\lambda$

Một chút hình thức hơn, nếu là các mẫu iid được rút ra từ , sao cho mỗi chúng ta có , thì làm cách nào tôi có thể ước tính từ bộ trong đó .e - λ x i < j x i ≤ x j λ { x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n } n < $\{x_1,x_2,x_3,...,x_m \}$$e^{-\lambda x}$$i < j$$x_i \leq x_j$$\lambda$$\{x_1,x_2,x_3,...,x_n\}$$n < m$

Cảm ơn rất nhiều!

Michael

Công cụ ước tính khả năng tối đa cho tham số của phân bố mũ theo kiểm duyệt loại II có thể được lấy như sau. Tôi giả sử kích thước mẫu là , trong đó nhỏ nhất được quan sát và lớn nhất không quan sát được (nhưng được biết là tồn tại.)n < m m - $m$$n < m$$m - n$

Giả sử (để đơn giản hóa công chứng) rằng được quan sát được đặt hàng: . Khi đó mật độ xác suất chung của là: 0 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ ⋯ ≤ x n x 1 , ... , x $x_i$$0 \leq x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n$$x_1, \dots, x_n$

$f(x_1, \dots, x_n) = {m!\lambda^n \over {(m-n)!}}\exp\left\{-\lambda\sum_{i=1}^nx_i\right\}\exp\left\{-\lambda(m-n)x_n\right\}$

nơi mũ đầu tiên liên quan đến xác suất của các quan sát và lần thứ hai với các xác suất của không quan sát được rằng lớn hơn (mà chỉ là 1 - CDF tại .) Sắp xếp lại các điều khoản dẫn đến:x i m - n x i x n x $n$$x_i$$m-n$$x_i$$x_n$$x_n$

$f(x_1, \dots, x_n) = {m!\lambda^n \over {(m-n)!}}\exp\left\{-\lambda\left[\sum_{i=1}^{n-1}x_i+(m-n+1)x_n\right]\right\}$

(Lưu ý tổng số chạy đến vì có " " trong hệ số của .) Lấy nhật ký, sau đó là công cụ phái sinh , v.v. dẫn đến công cụ ước tính khả năng tối đa:$n-1$$+1$$x_n$$\lambda$

$\hat{\lambda} = n / \left[\sum_{i=1}^{n-1}x_i+(m-n+1)x_n\right]$

Điều này liên kết câu trả lời của @ jbowman với nhận xét của tôi. Cụ thể, theo các giả định làm việc chung, người ta có thể sử dụng 'khả năng sống sót tiêu chuẩn' theo kiểm duyệt loại II.

> #------seed------
> set.seed(1907)
> #----------------
> 
> #------some data------
> t <- sort(rexp(n=20, rate=2))        #true sample
> t[16:20] <- t[15]                    #observed sample
> delta <- c(rep(1, 15), rep(0, 5))    #censoring indicator
> data <- data.frame(t, delta)         #observed data
> #---------------------
> 
> #-----using @jbowman's formula------
> 15 / (sum(t[1:14]) + (5 + 1)*t[15])
[1] 2.131323
> #-----------------------------------
> 
> #------using the usual survival likelihood------
> library(survival)
> fit <- survreg(Surv(t, delta)~1, dist="exponential", data=data)
> exp(-fit$coef)
(Intercept) 
   2.131323 
> #-----------------------------------------------

PS1: Lưu ý rằng điều này không bị hạn chế trong phân phối theo cấp số nhân.

PS2: Chi tiết có thể được tìm thấy trong Phần 2.2 của cuốn sách bởi Lawless .

$n$

$\Phi(x_k)=1-e^{-\lambda x_k} \approx (k/n)$$x_k$$0<k<m$$k$

$n$$\Phi$$k$$k/n$$k=n/2$