Khoảnh khắc trung tâm của phân phối đối xứng

Tôi đang cố gắng chỉ ra rằng thời điểm trung tâm của phân phối đối xứng: là 0 cho các số lẻ. Vì vậy, ví dụ khoảnh khắc trung tâm thứ baTôi đã bắt đầu bằng cách cố gắng chỉ ra rằngTôi không chắc chắn nơi để đi từ đây, bất kỳ đề nghị? Có cách nào tốt hơn để chứng minh điều này?

f_{x} (a + x) = f_{x} (a - x)

${\bf f}_x{\bf (a+x)} = {\bf f}_x{\bf(a-x)}$

E [(X - u)^{3}] = 0 .

${\bf E[(X-u)^3] = 0}.$

E [(X - u)^{3}] = E [X^{3}] - 3 u E [X^{2}] + 3 u^{2} E [X] - u^{3} .

${\bf E[(X-u)^3] = E[X^3] -3uE[X^2] + 3u^2E[X] - u^3}.$

mathematical-statistics expected-value moments

— người dùng18262
nguồn

Gợi ý: Để đơn giản, giả sử rằng đối xứng về . Sau đó, bạn có thể chỉ ra rằng bằng cách tách tích phân giữa và và sử dụng giả định đối xứng. Sau đó, bạn chỉ cần có để chứng minh rằng cho . Điều này có thể được thực hiện lại bằng cách tách tích phân và sử dụng một đối số tương tự.

f

$f$

0

$0$

E [X] = u = 0

$E[X]=u=0$

(- \infty, 0)

$(-\infty,0)$

[0, \infty)

$[0,\infty)$

E [X^{k}] = 0

$E[X^k]=0$

k = 3, 5, 7, 9, . . .

$k=3,5,7,9,...$

Nhưng, gợi ý , hãy cẩn thận với đề xuất của @ Procrastinator (+1)! Nếu không, bạn có thể "chứng minh" một cái gì đó sai! Bạn cần chỉ ra rằng mỗi phần của tích phân tách là hữu hạn. (Nếu là một, thì người khác cũng phải như vậy.)

— Hồng y

Sự khác biệt giữa và gì?

a

$a$

u

$u$

— Henry

@DilipSarwate Tại sao bạn không nắm bắt tất cả những suy nghĩ đó trong một câu trả lời thay vì tìm kiếm những chi tiết vụn vặt trong những bình luận không có ý định trở thành câu trả lời toàn diện?

@Macro: Thật xấu hổ. Procrastinator hiện tham gia một danh sách một số người đóng góp rất có giá trị (theo quan điểm của tôi) mà rõ ràng chúng tôi đã mất trong vài tháng qua (hoặc đã giảm nghiêm trọng hoạt động của họ). Về mặt tích cực, thật tuyệt khi thấy sự gia tăng gần đây của bạn khi tham gia! Tôi hy vọng nó sẽ tiếp tục.

— Đức hồng y

Câu trả lời này nhằm mục đích thực hiện một cuộc biểu tình càng cơ bản càng tốt, bởi vì những điều như vậy thường xuyên đi đến ý tưởng thiết yếu. Các sự kiện duy nhất cần thiết (ngoài loại thao tác đại số đơn giản nhất) là tính tuyến tính của tích hợp (hoặc, tương đương, kỳ vọng), thay đổi công thức biến cho tích phân và kết quả tiên đề mà PDF tích hợp thành thống nhất.

Thúc đẩy sự thể hiện này là trực giác rằng khi đối xứng với , thì đóng góp của bất kỳ đại lượng cho kỳ vọng sẽ có cùng trọng số với đại lượng , vì và nằm ở hai phía đối diện của và cách xa nó. Khi đó, với điều kiện là cho tất cả , mọi thứ đều hủy bỏ và kỳ vọng phải bằng không. Mối quan hệ giữa và , sau đó, là điểm xuất phát của chúng tôi. $f_X$ $a$ $G(x)$ $\mathbb{E}_X(G(X))$ $G(2a-x)$ $x$ $2a-x$ $a$ $G(x) = -G(2a-x)$ $x$ $x$ $2a-x$

Lưu ý, bằng cách viết , tính đối xứng cũng có thể được biểu thị bằng mối quan hệ $y = x + a$

f_{X} (y) = f_{X} (2 a - y)

$f_X(y) = f_X(2a-y)$

cho tất cả các . Đối với bất kỳ hàm có thể đo lường nào , sự thay đổi một-một của biến từ thành thay đổi thành , trong khi đảo ngược hướng tích hợp, ngụ ý $y$ $G$ $x$ $2a-x$ $dx$ $-dx$

E_{X} (G (X)) = \int G (x) f_{X} (x) d x = \int G (x) f_{X} (2 a - x) d x = \int G (2 a - x) f_{X} (x) d x .

$\mathbb{E}_X(G(X)) = \int G(x) f_X(x)dx = \int G(x) f_X(2a - x)dx = \int G(2a-x)f_X(x)dx.$

Giả sử kỳ vọng này tồn tại (nghĩa là tích phân hội tụ), tính tuyến tính của tích phân ngụ ý

\int (G (x) - G (2 a - x)) f_{X} (x) d x = 0.

$\int \left(G(x) - G(2a - x)\right)f_X(x)dx = 0.$

Hãy xem xét các khoảnh khắc kỳ lạ về , được xác định là kỳ vọng của , . Trong những trường hợp này $a$ $G_{k,a}(X) = (X-a)^k$ $k = 1, 3, 5, \ldots$

\begin{aligned} G_{k, a} (x) - G_{k, a} (2 a - x) & = (x - a)^{k} - (2 a - x - a)^{k} \\ = (x - a)^{k} - (a - x)^{k} \\ = (1^{k} - (- 1)^{k}) (x - a)^{k} \\ = 2 (x - a)^{k}, \end{aligned}

$\eqalign{ G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a-x) &= (x-a)^k - (2a-x-a)^k \\&= (x-a)^k - (a-x)^k \\ &= (1^k - (-1)^k)(x-a)^k \\&= 2(x-a)^k,}$

chính xác vì là số lẻ. Áp dụng kết quả trước cho $k$

0 = \int (G_{k, a} (x) - G_{k, a} (2 a - x)) f_{X} (x) d x = 2 \int (x - a)^{k} f_{X} (x) d x .

$0 = \int \left(G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a - x)\right)f_X(x)dx = 2\int (x-a)^k f_X(x)dx.$

Bởi vì phía bên tay phải gấp đôi thời điểm thứ về , chia cho cho thấy khoảnh khắc này bằng không mỗi khi nó tồn tại. $k$ $a$ $2$

Cuối cùng, giá trị trung bình (giả sử nó tồn tại) là

μ_{X} = E_{X} (X) = \int x f_{X} (x) d x = \int (2 a - x) f_{X} (x) d x .

$\mu_X = \mathbb{E}_X(X) = \int x f_X(x)dx = \int (2a-x)f_X(x)dx.$

Một lần nữa khai thác tuyến tính và nhắc lại rằng vì là phân phối xác suất, chúng ta có thể sắp xếp lại đẳng thức cuối cùng để đọc $\int f_X(x)dx=1$ $f_X$

2 μ_{X} = 2 \int x f_{X} (x) d x = 2 a \int f_{X} (x) d x = 2 a \times 1 = 2 a

$2\mu_X = 2\int x f_X(x)dx = 2a\int f_X(x)dx = 2a\times 1 = 2a$

với giải pháp duy nhất . Do đó, tất cả các tính toán trước đây của chúng tôi về các khoảnh khắc về thực sự là những khoảnh khắc trung tâm, QED. $\mu_X = a$ $a$

Bưu điện

Nhu cầu chia ở một số nơi có liên quan đến thực tế là có một nhóm bậc tác động lên các hàm đo được (cụ thể là nhóm được tạo bởi sự phản xạ trong đường thẳng xung quanh ). Tổng quát hơn, ý tưởng về sự đối xứng có thể được khái quát hóa cho hành động của bất kỳ nhóm nào. Lý thuyết về biểu diễn nhóm ngụ ý rằng khi nhân vật $2$ $2$ $a$ hành động đó đối với một hàm không tầm thường, nó trực giao với ký tự tầm thường và điều đó có nghĩa là kỳ vọng của hàm phải bằng không. Các mối quan hệ trực giao liên quan đến việc thêm (hoặc tích hợp) vào nhóm, do đó kích thước của nhóm liên tục xuất hiện theo mẫu số: tính chính xác của nó khi nó là hữu hạn hoặc khối lượng của nó khi nó nhỏ gọn.

Vẻ đẹp của sự khái quát hóa này trở nên rõ ràng trong các ứng dụng có tính đối xứng rõ ràng , như trong phương trình chuyển động cơ học (hoặc cơ học lượng tử) của các hệ đối xứng được minh họa bằng một phân tử benzen (có nhóm đối xứng 12 yếu tố). (Ứng dụng QM có liên quan nhất ở đây vì nó tính toán rõ ràng các kỳ vọng.) Các giá trị của lợi ích vật lý - thường liên quan đến tích phân đa chiều của các tenxơ - có thể được tính toán không có nhiều công việc hơn là có liên quan ở đây, chỉ đơn giản bằng cách biết các ký tự liên quan đến tích phân. Ví dụ, "màu sắc" của các phân tử đối xứng khác nhau - quang phổ của chúng ở các bước sóng khác nhau - có thể được xác định ab initio với phương pháp này.

— whuber
nguồn

(+1) Trong phần bắt đầu "Hãy xem xét những khoảnh khắc kỳ lạ về ...", tôi tin rằng dòng thứ ba nên đọc .

a

$a$

= (1^{k} - (- 1)^{k}) (x - a)^{k}

$=(1^k-(-1)^k)(x-a)^k$

— giả định

@Max Yep: Cảm ơn bạn đã đọc rất cẩn thận! (Bây giờ đã được sửa.)

— whuber