Ước tính các tham số của một phân phối bình thường: trung bình thay vì trung bình?

Cách tiếp cận phổ biến để ước tính các tham số của phân phối chuẩn là sử dụng giá trị trung bình và độ lệch chuẩn / phương sai mẫu.

Tuy nhiên, nếu có một số ngoại lệ, độ lệch trung bình và độ lệch trung bình so với trung vị sẽ mạnh hơn nhiều, phải không?

Trên một số bộ dữ liệu tôi đã thử, phân phối chuẩn được ước tính bởi $\mathcal{N}(\text{median}(x), \text{median}|x - \text{median}(x)|)$ dường như tạo ra sự phù hợp tốt hơn nhiều so với cổ điển sử dụng giá trị trung bình và độ lệch RMS.$\mathcal{N}(\hat\mu, \hat\sigma)$

Có bất kỳ lý do để không sử dụng trung bình nếu bạn cho rằng có một số ngoại lệ trong tập dữ liệu? Bạn có biết một số tài liệu tham khảo cho phương pháp này? Một tìm kiếm nhanh trên Google không tìm thấy cho tôi các kết quả hữu ích thảo luận về lợi ích của việc sử dụng trung bình ở đây (nhưng rõ ràng, "trung bình ước tính tham số phân phối bình thường" không phải là một tập hợp các thuật ngữ tìm kiếm rất cụ thể).

Độ lệch trung vị, có sai lệch không? Tôi có nên nhân nó với để giảm sai lệch không?$\frac{n-1}{n}$

Bạn có biết các cách tiếp cận ước lượng tham số mạnh tương tự cho các phân phối khác như phân phối Gamma hoặc phân phối Gaussian được sửa đổi theo cấp số nhân (cần Skewness trong ước tính tham số và các ngoại lệ thực sự làm rối giá trị này)?

Quan sát rằng trong một ví dụ liên quan đến dữ liệu được rút ra từ phân phối Gaussian bị ô nhiễm, bạn sẽ có được ước tính tốt hơn về các tham số mô tả phần lớn dữ liệu bằng cách sử dụng thay vì med | x - med ( x ) | nơi điên $\text{mad}$$\text{med}|x-\text{med}(x)|$ là:$\text{mad}(x)$

$$\text{mad}=1.4826\times\text{med}|x-\text{med}(x)|$$

--tại đó, là một yếu tố nhất quán được thiết kế để đảm bảo rằng E ( điên ( x ) 2 ) = Var ( x $(\Phi^{-1}(0.75))^{-1}=1.4826$

$$\text{E}(\text{mad}(x)^2)=\text{Var}(x)$$ khi là uncontaminated-- ban đầu được thực hiện bởi Gauss (Walker , H. (1931)).$x$

Tôi không thể nghĩ ra bất kỳ lý do nào để không sử dụng thay vì trung bình mẫu trong trường hợp này. Hiệu quả thấp hơn (tại Gaussian!) Của mad có thể là một lý do để không sử dụng mad trong ví dụ của bạn. Tuy nhiên, có tồn tại những sự thay thế mạnh mẽ và hiệu quả cao cho người điên . Một trong số đó là Q $\text{med}$$\text{mad}$$\text{mad}$$\text{mad}$$Q_n$. Dự toán này có nhiều lợi thế khác bên cạnh. Nó cũng rất vô cảm với những người ngoài cuộc (thực tế gần như vô cảm như người điên). Trái ngược với sự điên rồ, nó không được xây dựng xung quanh ước tính vị trí và không cho rằng sự phân phối của phần không bị nhiễm bẩn của dữ liệu là đối xứng. Giống như điên, Nó dựa trên số liệu thống kê đơn hàng, để nó luôn được xác định rõ ngay cả khi phân phối cơ bản của mẫu của bạn không có khoảnh khắc. Giống như điên, Nó có một hình thức rõ ràng đơn giản. Thậm chí còn hơn cả sự điên rồ, tôi thấy không có lý do nào để sử dụng độ lệch chuẩn mẫu thay vì trong ví dụ bạn mô tả (xem Rousseeuw và Croux 1993 để biết thêm thông tin về$Q_n$ ).$Q_n$

$x\sim\Gamma(\nu,\lambda)$

$$\text{med}(x)\approx\lambda(\nu-1/3)$$

và

$$\text{mad}(x)\approx\lambda\sqrt{\nu}$$

$\nu>1.5$

$$\hat{\nu}=\left(\frac{\text{med}(x)}{\text{mad}(x)}\right)^2$$

và

$$\hat{\lambda}=\frac{\text{mad}(x)^2}{\text{med}(x)}$$

Xem Chen và Rubin (1986) cho một dẫn xuất hoàn chỉnh.

• J. Chen và H. Rubin, 1986. Giới hạn cho sự khác biệt giữa trung bình và trung bình của các phân phối Gamma và Poisson, Statist. Con mồi Lett., 4, 281 Từ283.
• PJ Rousseeuw và C. Croux, 1993. Các lựa chọn thay thế cho Tạp chí sai lệch tuyệt đối trung bình của Hiệp hội thống kê Hoa Kỳ, Vol. 88, số 424, trang 1273-1283
• Walker, H. (1931). Các nghiên cứu trong Lịch sử của Phương pháp Thống kê. Baltimore, MD: Williams & Wilkins Co. Trang 24 Ảo25.

Nếu như bạn khẳng định, dữ liệu là bình thường ngoài một số tỷ lệ nhỏ của các ngoại lệ, độ lệch tuyệt đối trung bình và trung bình sẽ rất mạnh đối với các lỗi thô nhưng sẽ không sử dụng thông tin trong dữ liệu không ngoại lệ rất hiệu quả.

Nếu bạn biết một số tiên nghiệm ràng buộc vào tỷ lệ ngoại lệ, bạn có thể cắt tỷ lệ đó cho giá trị trung bình và Winsorize độ lệch chuẩn. Một giải pháp thay thế không đòi hỏi kiến ​​thức như vậy sẽ là sử dụng công cụ ước tính M cho vị trí và số lượng liên quan cho phương sai. Hiệu quả đạt được nếu các giả định của bạn là chính xác (chẳng hạn như dữ liệu thực sự bình thường ngoài một tỷ lệ nhỏ các ngoại lệ) trong một số trường hợp có thể là đáng kể.

Độ lệch trung bình được thiên vị như một ước tính của độ lệch chuẩn - nhưng không giống như$\frac{n}{n-1}$điều chỉnh; bình phương mẫu không được điều chỉnh có nghĩa là không có triệu chứng đi đến phương sai, nhưng độ lệch tuyệt đối trung bình mẫu không phải là không có triệu chứng đi đến độ lệch chuẩn của dân số; bạn cần nhân nó với một hằng số đơn giản để có được sự nhất quán . Sau khi bạn thực hiện xong, nó vẫn bị sai lệch mẫu nhỏ theo nghĩa tương tự như bình phương trung bình chưa được điều chỉnh.