Làm thế nào để bạn tính toán kỳ vọng của ?

Nếu được phân phối theo cấp số nhân với tham số \ lambda và X_i độc lập với nhau, thì kỳ vọng của$X_i$$(i=1,...,n)$$\lambda$$X_i$

$$\left(\sum_{i=1}^n {X_i} \right)^2$$

về mặt $n$ và $\lambda$ và các hằng số khác?

Lưu ý: Câu hỏi này đã nhận được câu trả lời toán học trên /math//q/12068/4051 . Các độc giả cũng sẽ xem nó.

Nếu , sau đó (dưới sự độc lập), y = Σ x i ~ G một m m một ( n , 1 / λ ) , vì vậy y là gamma phân phối (xem wikipedia ). Vì vậy, chúng ta chỉ cần E [ y 2 ] . Vì V a r [ y ] = E [ y 2 ] - $x_i \sim Exp(\lambda)$$y = \sum x_i \sim Gamma(n, 1/\lambda)$$y$$E[y^2]$ , chúng ta biết rằng E [ y 2 ] = V a r [ y ] + E [ y ] 2 . Do đó, E [ y 2 ] = n / λ 2 + n 2 / λ 2 = n ( 1 + n ) / λ 2 (xemwikipediacho kỳ vọng và phương sai của phân phối gamma).$Var[y] = E[y^2] - E[y]^2$$E[y^2] = Var[y] + E[y]^2$$E[y^2] = n/\lambda^2 + n^2/\lambda^2 = n(1+n)/\lambda^2$

Câu trả lời ở trên rất hay và hoàn toàn trả lời câu hỏi, nhưng thay vào đó, tôi sẽ cung cấp một công thức chung cho bình phương dự kiến ​​của một khoản tiền và áp dụng nó vào ví dụ cụ thể được đề cập ở đây.

Đối với bất kỳ bộ hằng nó là một thực tế là$a_1, ..., a_n$

$$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i} a_{j}$$

điều này là đúng bởi các bất động sản phân phối và trở nên rõ ràng khi bạn xem xét những gì bạn đang làm khi bạn tính toán bằng tay.$(a_1 + ... + a_n) \cdot (a_1 + ... + a_n)$

Do đó, đối với một mẫu các biến ngẫu nhiên , bất kể phân phối,$X_1, ..., X_n$

$$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$$

với điều kiện là những kỳ vọng này tồn tại

Trong ví dụ từ bài toán, là iid e x p o n e n t i một l ( λ ) biến ngẫu nhiên, mà cho chúng ta biết rằng E ( X i ) = 1 / λ và v một r ( X i ) = 1 / λ 2 cho mỗi i . Bởi độc lập, vì $X_1, ..., X_n$${\rm exponential}(\lambda)$$E(X_{i}) = 1/\lambda$${\rm var}(X_i) = 1/\lambda^2$$i$ , chúng tôi có$i \neq j$

$$E(X_i X_j) = E(X_i) \cdot E(X_j) = \frac{1}{\lambda^2}$$

Có của các điều khoản này trong tổng số. Khi i = j , chúng ta có$n^2 - n$$i = j$

$$E(X_i X_j) = E(X_{i}^{2}) = {\rm var}(X_{i}) + E(X_{i})^2 = \frac{2}{\lambda^2}$$

$n$

$$E \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j) = (n^2 - n)\cdot\frac{1}{\lambda^2} + n \cdot \frac{2}{\lambda^2} = \frac{n^2 + n}{\lambda^2}$$

là câu trả lời của bạn

Vấn đề này chỉ là một trường hợp đặc biệt của vấn đề chung hơn nhiều về 'khoảnh khắc của khoảnh khắc' thường được xác định theo thuật ngữ ký hiệu tổng lực. Cụ thể, trong ký hiệu tổng điện:

$$s_1 = \sum_{i=1}^{n} X_i$$

Sau đó, bất kể phân phối , người đăng ban đầu tìm kiếm$E[s_1^2]$(cung cấp những khoảnh khắc tồn tại). Vì toán tử kỳ vọng chỉ là Khoảnh khắc thô thứ 1, nên giải pháp được đưa ra trong phần mềm mathStatica bằng cách:

['___ToRaw' có nghĩa là chúng tôi muốn giải pháp được trình bày dưới dạng các khoảnh khắc thô của dân số (thay vì nói các khoảnh khắc trung tâm hoặc tích lũy). ]

Cuối cùng, nếu $X$ ~ Số mũ ($\lambda$) với pdf $f(x)$:

f = Exp[-x/λ]/λ;      domain[f] = {x, 0, ∞} && {λ > 0};

sau đó chúng ta có thể thay thế những khoảnh khắc $\mu_i$trong giải pháp chung solvới các giá trị thực tế cho biến ngẫu nhiên theo cấp số nhân, như vậy:

Tất cả đã được làm xong.

---

PS Lý do các giải pháp khác được đăng ở đây mang lại câu trả lời với $\lambda^2$ dĩ nhiên, trong mẫu số chứ không phải là tử số, bởi vì họ đang sử dụng một tham số hóa khác nhau của phân bố mũ. Vì OP không nói rõ phiên bản nào anh ấy đang sử dụng, tôi quyết định sử dụng định nghĩa sách giáo khoa lý thuyết phân phối tiêu chuẩn Johnson Kotz et al Đá chỉ để cân bằng mọi thứ :)