Tôi có thể chuyển đổi một ma trận hiệp phương sai thành các yếu tố không chắc chắn cho các biến không?

Tôi có một đơn vị GPS đưa ra phép đo nhiễu thông qua ma trận hiệp phương sai :$\Sigma$

$\Sigma = \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right]$

(có cũng tham gia nhưng chúng ta hãy bỏ qua điều đó trong một giây).$t$

Giả sử tôi muốn nói với người khác rằng độ chính xác theo từng hướng ( ) là một số. . Điều đó có nghĩa là, GPS của tôi có thể cho tôi đọc , v.v. Sự hiểu biết của tôi là trong trường hợp này ngụ ý rằng tất cả các thước đo đều độc lập với nhau (nghĩa là hiệp phương sai ma trận là đường chéo). Hơn nữa, việc tìm ra lỗi vectơ cũng đơn giản như việc thêm các lỗi trong phương trình bậc hai (căn bậc hai của tổng bình phương).$x,y,z$$\mu_x, \mu_y, \mu_z$$x=\bar{x}\pm\mu_x$$\mu$

Điều gì xảy ra nếu ma trận hiệp phương sai của tôi không chéo? Có một số đơn giản bao gồm các hiệu ứng của hướng và không? Làm thế nào tôi có thể tìm thấy một ma trận hiệp phương sai? y $\mu_x^*$$y$$z$

Không có một con số nào bao gồm tất cả các thông tin hiệp phương sai - có 6 thông tin, vì vậy bạn luôn cần 6 số.

Tuy nhiên, có một số điều bạn có thể xem xét làm.

Thứ nhất, lỗi (phương sai) theo bất kỳ hướng cụ thể nào , được đưa ra bởi$i$

$\sigma_i^2 = \mathbf{e}_i ^ \top \Sigma \mathbf{e}_i$

Trong đó là vectơ đơn vị theo hướng quan tâm.$\mathbf{e}_i$

Bây giờ nếu bạn nhìn vào điều này cho ba tọa độ cơ bản của bạn thì bạn có thể thấy rằng:$(x,y,z)$

$\sigma_x^2 = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]^\top \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right] = \sigma_{xx}$

$\sigma_y^2 = \sigma_{yy}$

$\sigma_z^2 = \sigma_{zz}$

Vì vậy, lỗi trong mỗi hướng được xem xét riêng được đưa ra bởi đường chéo của ma trận hiệp phương sai. Điều này có ý nghĩa bằng trực giác - nếu tôi chỉ xem xét một hướng, thì việc thay đổi chỉ tương quan sẽ không có gì khác biệt.

Bạn đã đúng khi lưu ý rằng chỉ cần nêu rõ:

$x = \mu_x \pm \sigma_x$

$y = \mu_x \pm \sigma_y$

$z = \mu_z \pm \sigma_z$

Không ngụ ý bất kỳ mối tương quan giữa ba tuyên bố đó - mỗi tuyên bố riêng là hoàn toàn chính xác, nhưng cùng nhau một số thông tin (tương quan) đã bị loại bỏ.

Nếu bạn sẽ thực hiện nhiều phép đo, mỗi phép đo có cùng một mối tương quan lỗi (giả sử rằng điều này xuất phát từ thiết bị đo) thì một khả năng thanh lịch là xoay tọa độ của bạn để làm chéo ma trận hiệp phương sai của bạn. Sau đó, bạn có thể trình bày các lỗi theo từng hướng một cách riêng biệt vì bây giờ chúng sẽ không được sửa chữa.

Khi nhận "lỗi vectơ" bằng cách thêm vào phương trình bậc hai, tôi không chắc là tôi hiểu bạn đang nói gì. Ba lỗi này là các lỗi với số lượng khác nhau - chúng không triệt tiêu lẫn nhau và vì vậy tôi không thấy cách bạn có thể thêm chúng lại với nhau. Bạn có nghĩa là lỗi trong khoảng cách?