Làm thế nào tôi nên đối phó với nghịch lý của Borel?

Tôi cảm thấy hơi khó chịu với cách tôi đã xử lý tinh thần với nghịch lý của Borel và các "nghịch lý" liên quan khác liên quan đến xác suất có điều kiện. Đối với những người đang đọc cái này không quen thuộc với nó, hãy xem liên kết này . Phản ứng tinh thần của tôi cho đến thời điểm này chủ yếu là bỏ qua nó bởi vì dường như không ai nói về nó, nhưng tôi cảm thấy tôi nên khắc phục điều này.

Chúng ta biết rằng nghịch lý này tồn tại, và có vẻ như trong thực tế (như một ví dụ cực đoan, phân tích Bayes) chúng ta hoàn toàn ổn với điều kiện về các sự kiện của biện pháp ; nếu X là dữ liệu của tôi, chúng tôi luôn điều kiện trên X = x , mặc dù đây là sự kiện của biện pháp 0 khi X liên tục. Và chúng tôi chắc chắn không nỗ lực xây dựng một chuỗi các sự kiện hội tụ đến sự kiện mà chúng tôi quan sát được để giải quyết nghịch lý, ít nhất là không rõ ràng.$0$$X$$X = x$$0$$X$

Tôi nghĩ rằng đây là chấp nhận vì chúng tôi đã cơ bản cố định các biến ngẫu nhiên (về nguyên tắc) trước khi thử nghiệm, và vì vậy chúng tôi điều trên σ ( X ) . Đó là, σ ( X ) là tự nhiên σ -algebra đến tình trạng trên bởi vì thông tin X = x đang đến để sử dụng thông qua X - nếu nó đã đến với chúng tôi trong một số thời trang khác, chúng tôi sẽ đặt điều kiện trên khác nhau σ -algebra. Nghịch lý Borel phát sinh do (tôi đoán) nó không phải là rõ ràng những gì thích hợp σ -algebra đến tình trạng trên, nhưng Bayesian có định $X$$\sigma(X)$$\sigma(X)$$\sigma$$X = x$$X$$\sigma$$\sigma$ . Bởi vì chúng tôi đang chỉ định một tiên nghiệm rằng thông tin X = x đến với chúng tôibằng cách đo X, chúng tôi rõ ràng. Một khi chúng ta đã xác định các σ -algebra, mọi thứ đều tốt; chúng tôi xây dựng kỳ vọng có điều kiện bằng cách sử dụng Radon-Nikodym và mọi thứ đều là các tập hợp tối đa duy nhất.$\sigma(X)$$X = x$$X$$\sigma$

Điều này về cơ bản là đúng, hay tôi đang đi? Nếu tôi là con đường tắt, những gì là sự biện minh cho hành xử như chúng ta làm gì? [Với tính chất Hỏi & Đáp của trang web này, coi đây là câu hỏi của tôi.] Khi tôi lấy xác suất lý thuyết của mình, vì một số lý do tôi không hiểu, thậm chí không bao giờ chạm đến kỳ vọng có điều kiện. Kết quả là, tôi lo lắng rằng ý tưởng của tôi rất bối rối.

$\{X=x\}$$x$$x$mà cuối cùng chúng ta sẽ quan sát. Phân phối có điều kiện được xác định duy nhất ở hầu hết mọi nơi và do đó gần như chắc chắn sẽ thu hút sự quan sát của chúng tôi. Đây cũng là ý nghĩa của trích dẫn (tuyệt vời) của A. Kolmogorov trong mục wikipedia.

Một điểm trong phân tích Bayes trong đó các phép tính lý thuyết đo lường có thể biến thành nghịch lý là đại diện Savage-Dickey của yếu tố Bayes, vì nó phụ thuộc vào một phiên bản cụ thể của mật độ trước đó (như được thảo luận trong bài báo của chúng tôi về chủ đề này ...)