Neg Binomial và Jeffreys 'Prior

Tôi đang cố gắng để có được Jeffreys trước khi phân phối nhị thức âm. Tôi không thể thấy mình sai ở đâu, vì vậy nếu ai đó có thể giúp chỉ ra rằng điều đó sẽ được đánh giá cao.

Được rồi, vì vậy tình huống là thế này: Tôi đang so sánh các phân phối trước đó thu được bằng cách sử dụng nhị thức và nhị thức âm, trong đó (trong cả hai trường hợp) đều có thử nghiệm và thành công. Tôi nhận được câu trả lời đúng cho trường hợp nhị thức, nhưng không phải cho nhị thức âm. $n$ $m$

Hãy gọi Jeffreys trước . Sau đó, $\pi_J(\theta)$

π_{J} (θ) \propto [I (θ)]^{1 / 2} .

$\pi_J(\theta)\propto [I(\theta)]^{1/2}.$

Trong các điều kiện thường xuyên (hoàn thành như chúng ta đang làm việc với gia đình theo cấp số nhân),

nơi cho nhị thức âmlàtrong biểu thức trên (tổng số thành cônglà cố định,là không). Phân phối - tôi nghĩ-- là

I (θ) = - E (\frac{\partial^{2} \log L (θ | x)}{\partial θ^{2}})

$I(\theta)=-E\left(\frac{\partial^2 \log L(\theta|x)}{\partial \theta^2}\right)$

n

$n$

x

$x$

m

$m$

n

$n$

p (m | θ) \propto θ^{m} (1 - θ)^{n - m}

$p(m|\theta)\propto\theta^m(1-\theta)^{n-m}$

θ

$\theta$

m

$m$

m

$m$

L (θ | n) \propto θ^{m} (1 - θ)^{n - m} \log L (θ | n) = m \log θ + (n - m) \log (1 - θ) \frac{\partial \log L (θ | n)}{\partial θ} = \frac{m}{θ} - \frac{n - m}{1 - θ} \frac{\partial^{2} \log L (θ | n)}{\partial θ^{2}} = - \frac{m}{θ^{2}} - \frac{n - m}{(1 - θ)^{2}}

$L(\theta|n)\propto\theta^m(1-\theta)^{n-m}\\ \log L(\theta|n)=m\log\theta +(n-m)\log (1-\theta)\\ \frac{\partial\log L(\theta|n)}{\partial \theta}=\frac{m}{\theta}-\frac{n-m}{1-\theta}\\ \frac{\partial^2\log L(\theta|n)}{\partial \theta^2}=-\frac{m}{\theta^2}-\frac{n-m}{(1-\theta)^2}$

I (θ) = - E (\frac{\partial^{2} \log L (θ | n)}{\partial θ^{2}}) = \frac{m}{θ^{2}} + \frac{E (n) - m}{(1 - θ)^{2}} = \frac{m}{θ^{2}} + \frac{\frac{m θ}{1 - θ} - m}{(1 - θ)^{2}} = \frac{m (1 - θ)^{2} + \frac{m θ^{3}}{(1 - θ)} - m θ^{2}}{θ^{2} (1 - θ)^{2}} = \frac{m (1 - 2 θ) + \frac{m θ^{3}}{(1 - θ)}}{θ^{2} (1 - θ)^{2}} = \frac{m (1 - 2 θ) (1 - θ) + m θ^{3}}{θ^{2} (1 - θ)^{3}} = \frac{m (1 - 3 θ + 2 θ^{2} + θ^{3})}{θ^{2} (1 - θ)^{3}} \propto \frac{1 - 3 θ + 2 θ^{2} + θ^{3}}{θ^{2} (1 - θ)^{3}}

$I(\theta)=-E\left(\frac{\partial^2\log L(\theta|n)}{\partial \theta^2}\right)=\frac{m}{\theta^2}+\frac{E(n)-m}{(1-\theta)^2}=\frac{m}{\theta^2}+\frac{\frac{m\theta}{1-\theta}-m}{(1-\theta)^2}\\ =\frac{m(1-\theta)^2+\frac{m\theta^3}{(1-\theta)}-m\theta^2}{\theta^2(1-\theta)^2}=\frac{m(1-2\theta)+\frac{m\theta^3}{(1-\theta)}}{\theta^2(1-\theta)^2}\\ =\frac{m(1-2\theta)(1-\theta)+m\theta^3}{\theta^2(1-\theta)^3}=\frac{m(1-3\theta+2\theta^2+\theta^3)}{\theta^2(1-\theta)^3}\\ \propto\frac{1-3\theta+2\theta^2+\theta^3}{\theta^2(1-\theta)^3}$

Điều này, tuy nhiên, không cho tôi câu trả lời chính xác. Đáp án đúng là

π_{J} (θ) \propto \frac{1}{θ (1 - θ)^{1 / 2}}

$\pi_J(\theta)\propto \frac{1}{\theta(1-\theta)^{1/2}}$

I (θ) = \frac{1}{θ^{2} (1 - θ)}

$I(\theta)=\frac{1}{\theta^2(1-\theta)}$

Bất cứ ai có thể tìm thấy bất kỳ sai lầm? Tôi sẽ không ngạc nhiên nếu tôi làm hỏng việc gì đó với việc thiết lập phân phối (thành công so với thất bại với xác suất tương ứng của họ, v.v.).

Tôi đã sử dụng giá trị mong đợi từ Wikipedia và tôi biết câu trả lời chính xác từ đây (trang 3) .

— bá đạo
nguồn

$n$ $E(n) = m/\theta$

I (θ) = m (\frac{1}{θ^{2} (1 - θ)})

$I(\theta) = m\left(\frac{1}{\theta^2(1-\theta)}\right)$

π_{J} (θ) = | I (θ) |^{1 / 2} \propto θ^{- 1} (1 - θ)^{- 1 / 2}

$\pi_{J}(\theta) = |I(\theta)|^{1/2}\propto \theta^{-1}(1-\theta)^{-1/2}$

như bạn đã lưu ý

— COOLSerdash
nguồn

Khủng khiếp! Điều đó rất hữu ích và cũng là một tài liệu tham khảo tuyệt vời khi nó đi qua chính vấn đề mà tôi đang đấu tranh. Cảm ơn bạn!

— hejseb

Tôi đã tìm thấy một giải pháp sử dụng một công thức khác, xem ở đây . Rất vui vì tôi có thể giúp. Không có gì.

— COOLSerdash