Phù hợp với một thuật ngữ hình sin cho dữ liệu

Mặc dù tôi đã đọc bài đăng này , tôi vẫn không biết làm thế nào để áp dụng điều này vào dữ liệu của riêng tôi và hy vọng rằng ai đó có thể giúp tôi.

Tôi có các dữ liệu sau:

y <- c(11.622967, 12.006081, 11.760928, 12.246830, 12.052126, 12.346154, 12.039262, 12.362163, 12.009269, 11.260743, 10.950483, 10.522091,  9.346292,  7.014578,  6.981853,  7.197708,  7.035624,  6.785289, 7.134426,  8.338514,  8.723832, 10.276473, 10.602792, 11.031908, 11.364901, 11.687638, 11.947783, 12.228909, 11.918379, 12.343574, 12.046851, 12.316508, 12.147746, 12.136446, 11.744371,  8.317413, 8.790837, 10.139807,  7.019035,  7.541484,  7.199672,  9.090377,  7.532161,  8.156842,  9.329572, 9.991522, 10.036448, 10.797905)
t <- 18:65

Và bây giờ tôi chỉ đơn giản là muốn phù hợp với một làn sóng hình sin

với bốn ẩn số , , và với nó.ω ϕ $A$$\omega$$\phi$$C$

Phần còn lại của mã của tôi trông như sau

res <- nls(y ~ A*sin(omega*t+phi)+C, data=data.frame(t,y), start=list(A=1,omega=1,phi=1,C=1))
co <- coef(res)

fit <- function(x, a, b, c, d) {a*sin(b*x+c)+d}

# Plot result
plot(x=t, y=y)
curve(fit(x, a=co["A"], b=co["omega"], c=co["phi"], d=co["C"]), add=TRUE ,lwd=2, col="steelblue")

Nhưng kết quả thực sự rất kém.

Tôi sẽ rất đánh giá cao bất kỳ sự giúp đỡ.

Chúc mừng.

$\omega$

ssp <- spectrum(y)  
per <- 1/ssp$freq[ssp$spec==max(ssp$spec)]
reslm <- lm(y ~ sin(2*pi/per*t)+cos(2*pi/per*t))
summary(reslm)

rg <- diff(range(y))
plot(y~t,ylim=c(min(y)-0.1*rg,max(y)+0.1*rg))
lines(fitted(reslm)~t,col=4,lty=2)   # dashed blue line is sin fit

# including 2nd harmonic really improves the fit
reslm2 <- lm(y ~ sin(2*pi/per*t)+cos(2*pi/per*t)+sin(4*pi/per*t)+cos(4*pi/per*t))
summary(reslm2)
lines(fitted(reslm2)~t,col=3)    # solid green line is periodic with second harmonic

(Một sự phù hợp tốt hơn có lẽ vẫn sẽ giải thích cho các ngoại lệ trong chuỗi đó theo một cách nào đó, làm giảm ảnh hưởng của chúng.)

---

$\omega$

(Ngoài ra, bạn có thể cung cấp các ước tính này vào nls ... và bắt đầu nó đã được hội tụ.)

$2 \pi / 20$

Khi tôi đặt đó vào nls's startdanh sách, tôi nhận được một đường cong đó là nhiều hơn nữa hợp lý, mặc dù nó vẫn có một số những thành kiến có hệ thống.

Tùy thuộc vào mục tiêu của bạn là gì với tập dữ liệu này, bạn có thể cố gắng cải thiện mức độ phù hợp bằng cách thêm các thuật ngữ bổ sung hoặc sử dụng phương pháp tiếp cận không tham số như quy trình Gaussian với hạt nhân định kỳ.

Tự động chọn giá trị bắt đầu

Nếu bạn muốn chọn tần số chi phối, bạn có thể sử dụng biến đổi Fourier nhanh (FFT). Đây là cách ra khỏi lĩnh vực chuyên môn của tôi, vì vậy tôi sẽ để những người khác điền thông tin chi tiết nếu họ muốn (đặc biệt là về bước 2 và 3), nhưng Rmã dưới đây sẽ hoạt động.

# Step 1: do the FFT
raw.fft = fft(y)

# Step 2: drop anything past the N/2 - 1th element.
# This has something to do with the Nyquist-shannon limit, I believe
# (https://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem)
truncated.fft = raw.fft[seq(1, length(y)/2 - 1)]

# Step 3: drop the first element. It doesn't contain frequency information.
truncated.fft[1] = 0

# Step 4: the importance of each frequency corresponds to the absolute value of the FFT.
# The 2, pi, and length(y) ensure that omega is on the correct scale relative to t.
# Here, I set omega based on the largest value using which.max().
omega = which.max(abs(truncated.fft)) * 2 * pi / length(y)

Bạn cũng có thể vẽ abs(truncated.fft)để xem liệu có các tần số quan trọng khác không, nhưng bạn sẽ phải mân mê tỷ lệ của trục x một chút.

Ngoài ra, tôi tin rằng @Glen_b là chính xác rằng vấn đề là lồi một khi bạn biết omega (hoặc có thể bạn cũng cần biết phi? Tôi không chắc chắn). Trong mọi trường hợp, việc biết các giá trị bắt đầu cho các tham số khác không nên quan trọng như đối với omega nếu chúng ở đúng sân bóng. Bạn có thể có thể nhận được ước tính khá của các tham số khác từ FFT, nhưng tôi không chắc nó sẽ hoạt động như thế nào.

Thay thế cho những gì đã được nói, có thể đáng chú ý rằng một mô hình AR (2) từ lớp mô hình ARIMA có thể được sử dụng để tạo dự báo với mô hình sóng hình sin.

Panratz (1991) cho chúng ta biết những điều sau đây về chu kỳ ngẫu nhiên:

Một mô hình chu kỳ ngẫu nhiên có thể được nghĩ đến một mẫu sóng hình sin bị biến dạng trong mẫu dự báo: Đó là một sóng hình sin với chu kỳ ngẫu nhiên (xác suất), biên độ và góc pha.

Để xem liệu một mô hình như vậy có thể được trang bị cho dữ liệu tôi đã sử dụng auto.arima()chức năng từ gói dự báo để tìm hiểu xem liệu nó có gợi ý mô hình AR (2) không. Hóa ra auto.arima()hàm này gợi ý một mô hình ARMA (2,2); không phải là một mô hình AR (2) thuần túy, nhưng điều này là ổn. Không sao vì mô hình ARMA (2,2) chứa thành phần AR (2), do đó áp dụng quy tắc tương tự (về chu kỳ ngẫu nhiên). Đó là, chúng ta vẫn có thể kiểm tra điều kiện đã nói ở trên để xem liệu dự báo sóng hình sin sẽ được tạo ra.

Các kết quả auto.arima(y)được hiển thị dưới đây.

Series: y 
ARIMA(2,0,2) with non-zero mean 

Coefficients:
         ar1      ar2      ma1     ma2  intercept
      1.7347  -0.8324  -1.2474  0.6918    10.2727
s.e.  0.1078   0.0981   0.1167  0.1911     0.5324

sigma^2 estimated as 0.6756:  log likelihood=-60.14
AIC=132.27   AICc=134.32   BIC=143.5

Cốt truyện dưới đây cho thấy loạt ban đầu, y, sự phù hợp của mô hình ARMA (2,2) và 14 dự báo ngoài mẫu. Có thể thấy, các dự báo ngoài mẫu theo mô hình sóng hình sin.

Hãy ghi nhớ hai điều. 1) Đây chỉ là một phân tích rất nhanh (sử dụng một công cụ tự động) và một phương pháp điều trị thích hợp sẽ liên quan đến phương pháp Box-Jenkins. 2) Dự báo ARIMA rất tốt trong dự báo ngắn hạn, vì vậy bạn có thể thấy rằng dự báo dài hạn từ các mô hình trong câu trả lời của @David J. Harris và @Glen_b đáng tin cậy hơn.

Cuối cùng, hy vọng đây là một bổ sung tốt đẹp cho một số câu trả lời đã rất nhiều thông tin.

Tham khảo : Dự báo với các mô hình hồi quy động: Alan Pankratz, 1991, (John Wiley and Sons, New York), ISBN 0-471-61528-5

Các phương thức hiện tại để khớp đường cong sin với một tập dữ liệu nhất định đòi hỏi phải đoán trước các tham số, sau đó là một quá trình tương tác. Đây là một vấn đề hồi quy phi tuyến tính. Một phương pháp khác bao gồm chuyển đổi hồi quy phi tuyến tính thành hồi quy tuyến tính nhờ một phương trình tích phân thuận tiện. Sau đó, không cần dự đoán ban đầu và không cần quá trình lặp lại: sự phù hợp được lấy trực tiếp. Trong trường hợp hàm y = a + r * sin (w * x + phi) hoặc y = a + b * sin (w * x) + c * cos (w * x), xem trang 35-36 của bài báo "Réupion sinusoidale" được xuất bản trên Scribd: http://www.scribed.com/JJacquelin/document Trong trường hợp hàm y = a + p * x + r * sin (w * x + phi): trang 49-51 của chương "Hồi quy tuyến tính và hình sin hỗn hợp". Trong trường hợp các hàm phức tạp hơn, quy trình chung được giải thích trong chương "Hồi quy hình sin tổng quát" trang 54-61, tiếp theo là một ví dụ bằng số y = r * sin (w * x + phi) + (b / x) + c * ln (x), trang 62-63

Nếu bạn biết điểm thấp nhất và cao nhất của dữ liệu tìm kiếm cosin của mình, bạn có thể sử dụng hàm đơn giản này để tính tất cả các hệ số cosin:

getMyCosine <- function(lowest_point=c(pi,-1), highest_point=c(0,1)){
  cosine <- list(
    T = pi / abs(highest_point[1] - lowest_point[1]),
    b = - highest_point[1],
    k = (highest_point[2] + lowest_point[2]) / 2,
    A = (highest_point[2] - lowest_point[2]) / 2
  )
  return(cosine)
}

Dưới đây, nó được sử dụng để mô phỏng sự thay đổi nhiệt độ trong suốt cả ngày với chức năng cosin, bằng cách nhập giá trị giờ và nhiệt độ cho giờ thấp nhất và ấm nhất:

c <- getMyCosine(c(4,10),c(17,25)) 
# lowest temprature at 4:00 (10 degrees), highest at 17:00 (25 degrees)

x = seq(0,23,by=1);  y = c$A*cos(c$T*(x +c$b))+c$k ; 
library(ggplot2);   qplot(x,y,geom="step")

Đầu ra dưới đây:

Một lựa chọn khác là sử dụng một hàm tổng quát optim hoặc nls. Tôi đã thử cả hai không ai trong số họ là hoàn toàn mạnh mẽ

Các hàm sau lấy dữ liệu theo y và tính toán các tham số.

calc.period <- function(y,t)
{     
   fs <- 1/(t[2]-t[1])
   ssp <- spectrum(y,plot=FALSE )  
   fN <- ssp$freq[which.max(ssp$spec)]
   per <- 1/(fN*fs)
   return(per)
 }

fit.sine<- function(y, t)
{ 
  data <- data.frame(x = as.vector(t), y=as.vector(y))
  min.RSS <- function (data, par){
    with(data, sum((par[1]*sin(2*pi*par[2]*x + par[3])+par[4]-y )^2))
  }  
  amp = sd(data$y)*2.**0.5
  offset = mean(data$y)
  fest <- 1/calc.period(y,t)
  guess = c( amp, fest,  0,   offset)
  #res <- optim(par=guess, fn = min.RSS, data=data ) 
  r<-nls(y~offset+A*sin(2*pi*f*t+phi), 
     start=list(A=amp, f=fest, phi=0, offset=offset))
  res <- list(par=as.vector(r$m$getPars()))
  return(res)
}

 genSine <- function(t, params)
     return( params[1]*sin(2*pi*params[2]*t+ params[3])+params[4])

việc sử dụng là như sau:

t <- seq(0, 10, by = 0.01)
A <- 2 
f <- 1.5
phase <- 0.2432
offset <- -2

y <- A*sin(2*pi*f*t +phase)+offset + rnorm(length(t), mean=0, sd=0.2)

reslm1 <- fit.sine(y = y, t= t)

Đoạn mã sau so sánh dữ liệu

ysin <- genSine(as.vector(t), params=reslm1$par)
ysin.cor <- genSine(as.vector(t), params=c(A, f, phase, offset))

plot(t, y)
lines(t, ysin, col=2)
lines(t, ysin.cor, col=3)