Giới hạn đuôi trên Ơclit để phân phối đồng đều trên

11

Giới hạn trên được biết về mức độ thường xuyên của chỉ tiêu Euclide của một yếu tố được chọn thống nhất là $\:\{-n,~-(n-1),~...,~n-1,~n\}^d\:$ sẽ lớn hơn một ngưỡng nhất định?

Tôi chủ yếu quan tâm đến các giới hạn hội tụ theo cấp số nhân về 0 khi $n$ nhỏ hơn nhiều so với $d$ .

uniform extreme-value bounds

— Ricky Demer
nguồn

Đây là dễ dàng để trả lời cho ngưỡng

t \leq n

$t\le n$ --you're chỉ tính toán khối lượng hyperspheres - nhưng khó khăn hơn để làm việc ra cho

t > n

$t \gt n$ . Bạn có ở một trong những tình huống đó không?

— whuber

3

Tôi sẽ cần

t > n

$\: t > n \;\;$ .

$\;\;\;\;$

— Ricky Demer

1

Tôi không có thời gian để gửi câu trả lời chi tiết vào lúc này, nhưng đây là một gợi ý trong lúc này: So sánh

với một biến ngẫu nhiên nhị thức với cùng một cách sử dụng kỹ thuật ràng buộc tiêu chuẩn Chernoff. Điều này sẽ tạo ra một ràng buộc có dạng

cho phù hợp

và

quy

\sum_{k} (X_{k} / n)^{2}

$\sum_k (X_k/n)^2$

a^{d} e^{- b t^{2}}

$a^d e^{-b t^2}$

a

$a$

b

$b$

có nghĩa khi bạn nghĩ về ý nghĩa của khoảng cách Euclide bình phương là gì. Hy vọng rằng sẽ giúp một số.

t > n \sqrt{d (n + 1) / 3 n}

$t > n \sqrt{d (n+1)/3n}$

— Đức hồng y

1

Theo trực giác, rõ ràng là một điểm có tọa độ được lấy mẫu ngẫu nhiên từ phân bố đồng đều phải có mô đun nhỏ do lời nguyền của chiều. Khi tăng, xác suất một điểm được lấy mẫu ngẫu nhiên từ thể tích của quả bóng đơn vị -chiều sẽ có khoảng cách nhỏ hơn hoặc bằng từ tâm là , giảm nhanh theo cấp số nhân. $d$ $d$ $\epsilon$ $\epsilon^{d}$

Tôi sẽ cung cấp phiên bản đầy đủ của giải pháp hồng y.

$X_i$ $-n \leqslant k \leqslant n$ $\mathbb{E}[X] = 0$ $\text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

Hãy nhớ lại rằng và $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) + \mathbb{E}[X_i]^2$ $\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2$

Do đó, $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2 = \frac{n(n+1)(3n^2 + 3n + 1)}{15} - \left( \frac{n(n+1)}{3} \right)^2$

$\mathbb{E}[X_i^4]$ tính toán

Đặt $Y_i = X_i^2$

\sum_{i = 1}^{d} Y_{i} = (Distance of Randomly Sampled Point to Origin)^{2}

$\sum_{i=1}^d Y_i = (\text{Distance of Randomly Sampled Point to Origin})^2$

Tôi sẽ kết thúc vào ngày mai, nhưng bạn có thể thấy rằng biến này có giá trị trung bình khoảng , trong khi ít hơn các điểm có khoảng cách nhỏ hơn một nửa khoảng cách tối đa $\frac{n^2}{3}$ $2^{-d}$ $\frac{dn^2}{2}$

— Michael K
nguồn

0

Nếu tất cả tuân theo các đồng phục riêng biệt độc lập trên , thì vì có giá trị để chọn và giá trị trung bình của chúng là 0, chúng tôi có tất cả : $X_i$ $[-n, n]$ $2n+1$ $i$

$\mathbb{E}(X_i)= 0$ và

$\mathbb{V}(X_i)= \mathbb{E}\left((X_i - \mathbb{E}(X_i))^2\right)= \mathbb{E}(X_i^2)= \frac{(2n+1)^2 - 1}{12}= \frac{n(n+1)}{3}$

Sau đó, nếu là chỉ tiêu euclide bình phương của vectơ và vì tính độc lập của : $S$ $(X_1, X_2, ... X_d)$ $X_i$

$S= \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S)= \sum_{i=1}^d \mathbb{E}(X_i^2) = d \frac{n(n+1)}{3}$

Từ đây, bạn có thể sử dụng bất đẳng thức của Markov: $\forall a >0, \mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{1}{a}\mathbb{E}(S)$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{d}{a}\frac{n(n+1)}{3}$

Giới hạn này tăng với , điều này là bình thường bởi vì khi lớn hơn, chỉ tiêu euclide sẽ lớn hơn khi so với ngưỡng cố định . $d$ $d$ $a$

Bây giờ nếu bạn xác định như một chuẩn mực bình phương "bình thường hóa" (có giá trị kỳ vọng như nhau bất kể lớn như thế nào ) bạn nhận được: $S^*$ $d$

$S^*= \frac{1}{d} Y = \frac{1}{d} \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S^*) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{n(n+1)}{3a}$

Ít nhất ràng buộc này không tăng lên với , nhưng nó vẫn còn lâu mới giải quyết được nhiệm vụ của bạn cho một ràng buộc giảm theo cấp số nhân! Tôi tự hỏi liệu điều này có thể là do sự yếu kém của bất bình đẳng Markov ... $d$

Tôi nghĩ bạn nên chính xác câu hỏi của mình, vì như đã nêu ở trên định mức euclide trung bình của các vectơ của bạn tăng tuyến tính trong , vì vậy bạn rất khó tìm thấy giới hạn trên cho đang giảm trong với ngưỡng cố định . $d$ $\mathbb{P}(S > a)$ $d$ $a$

— hân hoan
nguồn