Số lần dự kiến trung bình theo kinh nghiệm sẽ vượt quá một giá trị

Cho một chuỗi các biến ngẫu nhiên iid, giả sử, cho , Tôi đang cố gắng ràng buộc số lần dự kiến trung bình theo kinh nghiệm $X_i \in [0,1]$ $i = 1,2,...,n$ sẽ vượt quá một giá trị,, như chúng ta tiếp tục vẽ mẫu, đó là: $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ $c \geq 0$

T \overset{d e f}{=} \sum_{j = 1}^{n} P ({\frac{1}{j} \sum_{i = 1}^{j} X_{i} \geq c})

$\mathcal{T} \overset{def}{=} \sum_{j=1}^n \mathbb{P} \left(\left\{ \frac{1}{j}\sum_{i=1}^j X_i \geq c\right\}\right)$

Nếu chúng ta giả sử rằng cho một số , chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức của Hoeffding để đến $c = a + \mathbb{E}[X]$ $a > 0$

\begin{aligned} T & \leq \sum_{j = 1}^{n} e^{- 2 j a^{2}} \\ = \frac{1 - e^{- 2 a^{2} n}}{e^{2 a^{2}} - 1} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{T} & \leq \sum_{j=1}^n e^{-2ja^2} \\ & = \frac{1 - e^{-2 a^2 n}}{e^{2 a^2}-1} \end{align}$

Có vẻ tốt (có thể) nhưng thực sự là một ràng buộc lỏng lẻo, có cách nào tốt hơn để ràng buộc giá trị này? Tôi hy vọng có thể có một cách vì các sự kiện khác nhau (đối với mỗi ) rõ ràng không độc lập, tôi không biết cách nào để khai thác sự phụ thuộc này. Ngoài ra, sẽ tốt hơn nếu loại bỏ hạn chế rằng lớn hơn giá trị trung bình. $j$ $c$

chỉnh sửa : Hạn chế về lớn hơn giá trị trung bình có thể được loại bỏ nếu chúng ta sử dụng Bất đẳng thức của Markov như sau: $c$

Cái nào chung chung hơn, nhưng tệ hơn nhiều so với giới hạn trên, mặc dù rõ ràngphải phân kỳ bất cứ khi nào.

\begin{aligned} T & \leq \sum_{j = 1}^{n} \frac{\frac{1}{j} E [X]}{c} \\ = \frac{E [X] H_{n}}{c} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{T} & \leq \sum_{j=1}^n \frac{\frac{1}{j}\mathbb{E}[X]}{c} \\ & = \frac{\mathbb{E}[X]H_n}{c} \end{align}$

T

$\mathcal{T}$

c \leq E [X]

$c \leq \mathbb{E}[X]$

mathematical-statistics expected-value bounds

— fairidox
nguồn

T

$\mathcal{T}$

j \times

$j\times$

c

$c$

c \leq 0

$c\le 0$

T = n (n + 1) / 2

$\mathcal{T} = n(n+1)/2$

@whuber oh, đúng rồi, điểm tốt cảm ơn, tôi đã sửa nó ở trên.

— fairidox

Tôi nhận thấy bạn đã thay đổi giới hạn trên của bạn. Bây giờ nó có vẻ là tiêu cực ;-).

— whuber

j

$j$

$\bar x_j$ $F_j$

T \overset{d e f}{=} \sum_{j = 1}^{n} (1 - F_{j} (c)) = n - \sum_{j = 1}^{n} F_{j} (c)

$\mathcal{T} \overset{def}{=} \sum_{j=1}^n \left(1-F_j(c)\right) = n- \sum_{j=1}^n F_j(c)$

$m$ $\hat G$

T = n - \sum_{j = 1}^{m} F_{j} (c) - \sum_{j = m + 1}^{n} {\hat{G}}_{j} (c) < n - \sum_{j = m + 1}^{n} {\hat{G}}_{j} (c)

$\mathcal{T} = n- \sum_{j=1}^m F_j(c)-\sum_{j=m+1}^n \hat G_j(c) < n-\sum_{j=m+1}^n \hat G_j(c)$

$\hat G_j(c)$

{\hat{G}}_{j} (c) = 1 - Φ (\frac{\sqrt{j}}{σ} (μ - c))

$\hat G_j(c) = 1- \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(\mu-c)\right)$

Φ

$\Phi$

σ

$\sigma$

μ

$\mu$

T < m + \sum_{j = m + 1}^{n} Φ (\frac{\sqrt{j}}{σ} (- a))

$\mathcal{T} < m+\sum_{j=m+1}^n \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(-a)\right)$

$m= 30$ $[0,1]$ $\sigma = \sqrt \frac{1}{12}$ $\mu = \frac 12$ $a=0.05$ $n=34$ $n>30$ $n=100$ $78.5$ $36.2$ $\approx 199.5$ $\approx 38.5$ $a$ $a=0.1$ $49.5$ $30.5$
$n\rightarrow \infty$

H_{b} \to \frac{1}{e^{2 a^{2}} - 1}

$H_b\rightarrow \frac{1}{e^{2 a^2}-1}$

A_{b} \to m

$A_b \rightarrow m$

$a$ $H_b$ $A_b$

— Alecos Papadopoulos
nguồn

" (tức là không quá ngưỡng kích thước mẫu giả định mà người ta cần để có được xấp xỉ bình thường trong phân phối trung bình mẫu) " bạn đang nói gì ở đây?

— Glen_b -Reinstate Monica

\approx 30.5

$\approx 30.5$

m + 0.5

$m + 0.5$

\sum_{j = m + 1}^{n} Φ (\frac{\sqrt{j}}{σ} (- a))

$\sum_{j=m+1}^n \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(-a)\right)$

Trừ khi bạn có thể nêu ra các trường hợp mà nó nắm giữ , xin vui lòng tránh gọi điều đó là quy tắc của ngón tay cái theo bất kỳ ý nghĩa chung nào. Con số 30 là hoàn toàn tùy ý (thường là quá yếu hoặc quá mạnh) và 30 cũng xuất hiện trong trường hợp của bạn, tôi tin rằng sự trùng hợp đơn giản.

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b "30" thậm chí không phải là trùng hợp ngẫu nhiên - Tôi chỉ sử dụng nó để cung cấp một ví dụ bằng số. Tôi không phản đối vấn đề này, tôi không thích "quy tắc ngón tay cái" (đặc biệt là khi chúng không rõ ràng). Tôi đã thực hiện một số thay đổi trong câu trả lời của tôi. Cảm ơn các đầu vào.

— Alecos Papadopoulos

@Glen_b Cảm ơn bộ nhớ có thể không cố định (tức là dài)!

— Alecos Papadopoulos

Số lần dự kiến ​​trung bình theo kinh nghiệm sẽ vượt quá một giá trị

Số lần dự kiến trung bình theo kinh nghiệm sẽ vượt quá một giá trị