Autocovariance của một (2,1) quá trình ARMA - nguồn gốc của mô hình phân tích cho

Tôi cần rút ra các biểu thức phân tích cho hàm tự động điều khiển của quy trình ARMA (2.1) được ký hiệu là:$\gamma\left(k\right)$

$y_t=\phi_1y_{t-1}+\phi_2y_{t-2}+\theta_1\epsilon_{t-1}+\epsilon_t$

Vì vậy, tôi biết rằng:

$\gamma\left(k\right) = \mathrm{E}\left[y_t,y_{t-k}\right]$

để tôi có thể viết:

$\gamma\left(k\right) = \phi_1 \mathrm{E}\left[y_{t-1}y_{t-k}\right]+\phi_2 \mathrm{E}\left[y_{t-2}y_{t-k}\right]+\theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-k}\right]+\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-k}\right]$

sau đó, để lấy phiên bản phân tích của hàm tự động điều khiển, tôi cần thay thế các giá trị của - 0, 1, 2 ... cho đến khi tôi nhận được đệ quy có giá trị với tất cả lớn hơn một số nguyên.$k$$k$

Do đó, tôi thay thế và thực hiện điều này để có được:$k=0$

$$\gamma \left(0\right) = \mathrm{E}\left[y_t,y_t\right] = \phi_1 \mathrm{E}\left[y_{t-1}y_t\right] + \phi_2 \mathrm{E}\left[y_{t-2}y_t\right]+\theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_t\right]+\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_t\right]\\ $$

bây giờ tôi có thể đơn giản hóa hai thuật ngữ đầu tiên và sau đó thay thế cho như trước:$y_t$

$$\gamma\left(0\right) = \phi_1 \gamma\left(1\right) + \phi_2 \gamma\left(2\right)\\ + \theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1} \left(\phi_1 y_{t-1} +\phi_2 y_{t-2} +\theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \right)\right]\\ + \mathrm{E}\left[\epsilon_t \left(\phi_1 y_{t-1} +\phi_2 y_{t-2} +\theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \right)\right]$$

sau đó tôi nhân ra tám điều khoản, đó là:

$$+\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]\\ +\theta_1\phi_2\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-2}\right]\\ +\theta_1^2\mathrm{E}\left[\left(\epsilon_{t-1}\right)^2\right]=\theta_1^2\sigma_{\epsilon}^2\\ +\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\epsilon_{t}\right]=\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}\right]=0\\ +\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-1}\right]\\ +\phi_2\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-2}\right]\\ +\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_t\epsilon_{t-1}\right] = \theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}\right]\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0 \\ +\mathrm{E}\left[\left(\epsilon_t\right)^2\right] = \sigma_{\epsilon}^2$$

Vì vậy, tôi còn lại cần phải giải quyết bốn điều khoản còn lại. Tôi muốn sử dụng logic tương tự cho các dòng 1, 2, 5 và 6 như tôi đã sử dụng trên các dòng 4 và 7 - ví dụ cho dòng 1:

$\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[y_{t-1}\right] = 0$ vì .$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0$

Tương tự cho các dòng 2, 5 và 6. Nhưng tôi có một giải pháp mô hình cho thấy biểu thức cho đơn giản hóa thành:$\gamma\left(0\right)$

$\gamma\left(0\right) = \phi_1\gamma\left(1\right)+\phi_2\gamma\left(2\right) +\theta_1\left(\phi_1+\theta_1\right)\sigma_{\epsilon}^2+\sigma_{\epsilon}^2$

Điều này cho thấy sự đơn giản hóa của tôi như được mô tả ở trên sẽ bỏ lỡ thuật ngữ với hệ số - theo logic của tôi là 0. Có phải logic của tôi bị lỗi hay là giải pháp mô hình mà tôi thấy không chính xác?$\phi_1$

Giải pháp đã thực hiện cũng đề xuất rằng "tương tự" có thể được tìm thấy là:$\gamma\left(1\right)$

$\gamma\left(1\right) = \phi_1\gamma\left(0\right)+\phi_2\gamma\left(1\right) + \theta_1\sigma_{\epsilon}^2$

và cho :$k>1$

$\gamma\left(k\right) = \phi_1\gamma\left(k-1\right)+\phi_2\left(k-2\right)$

Tôi hy vọng câu hỏi là rõ ràng. Bất kỳ trợ giúp sẽ được nhiều đánh giá cao. Cảm ơn bạn trước.

Đây là một câu hỏi liên quan đến nghiên cứu của tôi, và không chuẩn bị cho bất kỳ kỳ thi hoặc khóa học.

Nếu quy trình ARMA là nhân quả, có một công thức chung cung cấp các hệ số tự động hóa.

Hãy xem xét các nguyên nhân quá trình trong đó là tiếng ồn trắng có giá trị trung bình bằng 0 và phương sai . Theo thuộc tính nhân quả, quy trình có thể được viết là trong đó biểu thị -weights.$\text{ARMA}(p,q)$

$$y_t = \sum_{i = 1}^p \phi_i y_{t-1} + \sum_{j = 1}^q \theta_j \epsilon_{t - j} + \epsilon_t,$$ $\epsilon_t$$\sigma_\epsilon^2$ $$y_t = \sum_{j = 0}^\infty \psi_j \epsilon_{t - j},$$ $\psi_j$$\psi$

Phương trình đồng nhất chung cho các hệ số tự động tương quan của một quá trình nguyên nhân là với các điều kiện ban đầu $\text{ARMA}(p,q)$

$$\gamma (k) - \phi_1 \gamma (k-1) - \cdots - \phi_p \gamma (k-p) = 0, \quad k \geq \max (p, q+1),$$ $$\gamma (k) - \sum_{j = 1}^p \phi_j \gamma (k-j) = \sigma_\epsilon^2 \sum_{j = k}^q \theta_j \psi_{j - k}, \quad 0 \leq k < \max (p, q+1).$$

Lỗi tính toán của bạn trong câu hỏi ban đầu của bạn nằm ở

$$\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[y_{t-1}\right] = 0 \qquad \text{(mistaken)}$$

Bạn không thể tách kỳ vọng - và không độc lập.$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]$$\epsilon_{t-1}$$y_{t-1}$

ĐỒNG Ý. Vì vậy, quá trình viết bài thực sự chỉ cho tôi giải pháp.

Hãy xem xét các thuật ngữ Kỳ vọng 1, 2, 5 và 6 từ phía trên mà tôi nghĩ nên là 0.

Ngay lập tức cho các điều khoản 5 - - và 6 - : các thuật ngữ này chắc chắn bằng không, vì và độc lập với và .$\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_{t-1}\right]$$\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_{t-2}\right]$$y_{t-1}$$y_{t-2}$$\epsilon_t$$\mathrm{E}\left[\epsilon_t\right] = 0$

Tuy nhiên, các điều khoản 1 và 2 trông như thể Kỳ vọng có hai biến tương quan. Vì vậy, hãy xem xét các biểu thức cho và do đó:$y_{t-1}$$y_{t-2}$

$$y_{t-1} = \phi_1y_{t-2}+\phi_2y_{t-3}+\theta_1\epsilon_{t-2}+\epsilon_{t-1}\\ y_{t-2} = \phi_1y_{t-3}+\phi_2y_{t-4}+\theta_1\epsilon_{t-3}+\epsilon_{t-2}$$

Và nhớ lại thuật ngữ 1 - . Nếu chúng ta nhân cả hai mặt của biểu thức cho với và sau đó lấy Kỳ vọng, thì rõ ràng tất cả các thuật ngữ ở phía bên phải ngoại trừ giá trị cuối cùng trở thành số không (vì các giá trị của , và độc lập với và ) để cung cấp:$\phi_1\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]$$y_{t-1}$$\epsilon_{t-1}$$y_{t-2}$$y_{t-3}$$\epsilon_{t-2}$$\epsilon_{t-1}$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0$

$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \mathrm{E}\left[\left(\epsilon_{t-1}\right)^2\right] = \sigma_{\epsilon}^2$$

Vì vậy, thuật ngữ 1 trở thành . Đối với thuật ngữ 2, cần phải rõ ràng rằng, theo cùng một logic, tất cả các thuật ngữ đều bằng không.$+\phi_1\theta_1\sigma_{\epsilon}^2$

Do đó, câu trả lời mô hình ban đầu là chính xác.

Tuy nhiên, nếu bất cứ ai có thể đề xuất một cách khác để có được một giải pháp chung (ngay cả khi lộn xộn), tôi sẽ rất vui khi nghe nó!