Tại sao ma trận tương quan cần phải là bán xác định dương và nó có nghĩa là gì hoặc không có nghĩa là bán xác định dương?

Tôi đã nghiên cứu ý nghĩa của tính chất bán xác định dương của ma trận tương quan hoặc hiệp phương sai.

Tôi đang tìm kiếm bất kỳ thông tin về

Định nghĩa bán xác định tích cực;
Tính chất quan trọng của nó, ý nghĩa thực tiễn;
Hậu quả của việc có yếu tố quyết định tiêu cực, tác động đến phân tích đa biến hoặc kết quả mô phỏng, v.v.

— Dưa
nguồn

Bạn có muốn hiểu bán chính xác là gì không, hoặc bạn có muốn biết tại sao ma trận tương quan phải là bán xác định hay bạn muốn biết kết quả quan trọng nào được ngụ ý bởi tính chất này?

— whuber

Nếu ma trận tương quan không xác định bán tích cực thì bạn có thể nhận được phương sai là âm.

Tôi đã chỉnh sửa câu hỏi của bạn một chút, xin vui lòng kiểm tra nó. Ngoài ra, xin lưu ý rằng một ma trận có số lượng giá trị âm âm chẵn sẽ vẫn có xác định dương.

— ttnphns

Một ma trận hiệp phương sai KHÔNG phải luôn luôn bằng ma trận tương quan! Hiệp phương sai xem xét các biến được chuẩn hóa trong khi ma trận tương quan thì không.

— Manoj Kumar

Câu hỏi liên quan: Có phải mọi ma trận hiệp phương sai đều xác định? xem xét trường hợp rộng hơn của ma trận hiệp phương sai, trong đó ma trận tương quan là trường hợp đặc biệt; cũng là mọi ma trận tương quan tích cực bán xác định? và mọi ma trận tương quan có xác định dương không?

— Cá bạc

Câu trả lời:

Phương sai của tổng trọng số của các biến ngẫu nhiên phải là không âm cho tất cả các lựa chọn số thực . Kể từ khi phương sai có thể được diễn tả như $\sum_i a_i X_i$ $a_i$

var (\underset{tôi}{Σ} {một}_{tôi} X_{tôi}) = = \underset{tôi}{Σ} \underset{j}{Σ} {một}_{tôi} {một}_{j} cov (X_{tôi}, X_{j}) = = \underset{tôi}{Σ} \underset{j}{Σ} {một}_{tôi} {một}_{j} Σ_{tôi, j},

$\operatorname{var}\left(\sum_i a_i X_i\right) = \sum_i \sum_j a_ia_j \operatorname{cov}(X_i,X_j) = \sum_i \sum_j a_ia_j \Sigma_{i,j},$ chúng tôi có mà hiệp phương sai ma trận

phải semidefinite tích cực (mà đôi khi được gọi là âm nhất định). Nhớ lại rằng một ma trận

được gọi là semidefinite dương khi và chỉ khi

Σ = [Σ_{i, j}]

$\Sigma = [\Sigma_{i,j}]$

C

$C$

\underset{tôi}{Σ} \underset{j}{Σ} {một}_{tôi} {một}_{j} C_{tôi, j} \geq 0 \forall {một}_{tôi}, {một}_{j} \in R .

$\sum_i \sum_j a_ia_j C_{i,j} \geq 0 \;\; \forall a_i, a_j \in \mathbb R.$

— Dilip Sarwate
nguồn

Cảm ơn, tôi đã gỡ bỏ downvote của mình nhưng tôi không upvote vì nó không trả lời về ý nghĩa thực tế. Nói rằng tôi có một ma trận không xác định dương (do ví dụ để sửa đổi bởi 'chuyên gia'). Điều gì sẽ xảy ra nếu tôi sử dụng nó để hiệu chỉnh và / hoặc mô phỏng dữ liệu? Cụ thể, đây có phải là một vấn đề thực sự khi cố gắng nghiên cứu một khoản tiền lớn và chỉ có một vài giá trị eigen âm? Điều gì sẽ là một thuật toán hiệu quả để chuyển đổi một ma trận tương quan bán xác định không tích cực thành một ma trận bán xác định dương? Điều gì sẽ là tác động của thuật toán này?

— lcrmorin

@Were_cat Cảm ơn sự đảo ngược của downvote.

— Dilip Sarwate

Bạn có thể vui lòng giải thích đẳng thức đầu tiên trong phương trình đầu tiên?

— Vivek Subramanian

@VivekSubramanian Phương sai là trường hợp đặc biệt của hàm hiệp phương sai:

và hàm hiệp phương sai là song tuyến (có nghĩa là hàm tuyến tính đối với từng đối số:

var (X) = cov (X, X)

$\operatorname{var}(X)=\operatorname{cov}(X,X)$

\begin{aligned} cov (\underset{tôi}{Σ} {một}_{tôi} X_{tôi}, Y) & = = \underset{tôi}{Σ} {một}_{tôi} cov (X_{tôi}, Y) \\ cov (X, \underset{tôi}{Σ} b_{j} Y_{j},) & = = \underset{j}{Σ} b_{j} cov (X, Y_{j}) \end{aligned}

$\begin{align}\operatorname{cov}\left(\sum_i a_iX_i,Y\right)&=\sum_i a_i\operatorname{cov}(X_i,Y)\\ \operatorname{cov}\left(X, \sum_i b_jY_j,\right) &=\sum_j b_j \operatorname{cov}(X,Y_j)\end{align}$

Câu trả lời khá đơn giản.

Ma trận tương quan được xác định như vậy:

$X = [x_1, x_2, ..., x_n]$ $m\times n$ $m$ $n$

$X_b= [\frac{(x_1-\mu_1 e)}{s_1}, \frac{(x_2-\mu_2 e)}{s_2}, \frac{(x_3-\mu_3 e)}{s_3}, ...]$ $\mu_1$ $\mu_2$ $s_1$ $e$

Ma trận tương quan là sau đó

C = = X_{b}^{'} X_{b}

$C=X_b' X_b$

$A$ $z$ $z' A z <0$

$C$ $w' C w<0$

$(w' C w)=(w' X_b' X_b w)=(X_b w)'(X_b w) = {z_1^2+z_2^2...}$ $z=X_b w$ $w' C w$

$U$ $V' V$

— gregor
nguồn

Đây là câu trả lời rõ ràng và hữu ích nhất. Cảm ơn !

— Yohan Obadia

(Có thể sự lỏng lẻo trong lý luận sẽ là của tôi. Tôi không phải là nhà toán học: đây là một mô tả, không phải bằng chứng và là từ thử nghiệm số của tôi, không phải từ sách.)

Một ma trận semidefinite (psd) dương, còn được gọi là ma trận Gramian, là một ma trận không có giá trị riêng âm. Ma trận có giá trị riêng âm không phải là semidefinite dương hoặc không phải là Gramian. Cả hai điều này có thể là xác định (không có giá trị riêng 0) hoặc số ít (có ít nhất một giá trị riêng 0). [Từ "Gramian" được sử dụng theo nhiều nghĩa khác nhau trong toán học, vì vậy có lẽ nên tránh.]
Trong thống kê, chúng tôi thường áp dụng các thuật ngữ này cho ma trận loại SSCP, còn được gọi là ma trận sản phẩm vô hướng. Ma trận tương quan hoặc hiệp phương sai là những trường hợp cụ thể của ma trận đó .
$n$ $p$ $p$ $p$ $n$ $n$ ma trận hiệp phương sai giữa các trường hợp. Khi bạn tính toán nó từ dữ liệu thực, ma trận sẽ luôn là Gramian. Bạn có thể nhận được ma trận không phải là Gramian (không phải psd) nếu (1) đó là ma trận tương tự được đo trực tiếp (nghĩa là không được tính từ dữ liệu) hoặc số đo tương tự không phải là loại SSCP; (2) các giá trị ma trận được nhập không chính xác; (3) ma trận trên thực tế là Gramian nhưng là (hoặc rất gần) là số ít mà đôi khi phương pháp phổ của tính toán eigenvalues tạo ra các số âm nhỏ thay cho số 0 thực hoặc cực dương.
$d_{12}^2 = h_1^2+h_2^2-2s_{12}$ $s$ $h$ $X$ $Y$ $d_{xy}^2 = \sigma_x^2+\sigma_y^2-2cov_{xy}$
$m$ $m$
$m$ $m$ $m$
Các nguyên nhân hoặc phiên bản có thể có của cấu hình không phải là Gramian (không phải Euclide) là gì? Các câu trả lời tiếp theo khi suy ngẫm [điểm 4].
- $m$ $m$ $d$
- $h$ $d$ $d$ $h$ $h$
- $d$ $h$ $h_1+h_2 \ge d_{12} \ge |h_1-h_2|$
$|cov_{ij}| \gt \sigma_i \sigma_j$

Hình 1.

Hình 1

Hình 2.

Hình 2

Hình 3.

Hình 3

— ttnphns
nguồn

Điểm 6 cần chứng minh: bạn đã chỉ ra rằng một ma trận có khoảng cách Euclide bình phương là pd, nhưng bạn khẳng định mà không cần chứng minh rằng với mỗi ma trận pd tương ứng với cấu hình điểm của Euclide. Ngoài ra, bạn chưa kết nối định nghĩa pd của bạn ("không có giá trị riêng âm") với bất kỳ đặc điểm tiếp theo nào của bạn. Ý tưởng chính xuất hiện ở cuối (điểm 8): ma trận pd có thể được sử dụng để xác định khoảng cách. Theo logic, đây là nơi bạn nên bắt đầu phân tích.

— whuber

@whuber: Cảm ơn bạn đã đánh giá quan trọng. Tôi sợ, khi nói về mặt toán học chứng minh điều gì đó, tôi chìm xuống. Tôi đã báo cáo một phần kinh nghiệm thực tế của mình (tôi đã nói vậy); câu trả lời không thực sự là một chuỗi phân tích. Sau đó, bạn có muốn thêm câu trả lời của riêng mình để có thể sửa / cải thiện câu trả lời của tôi không? Nó có thể tạo ra một viện trợ có giá trị. Hoặc, bạn có thể tự do làm việc trên văn bản của tôi để cải thiện nó nếu bạn thấy nó không hoàn toàn vô ích.

— ttnphns

PS Điểm 8 của tôi ngụ ý rằng vì định tâm kép neo một cấu hình các điểm vào tâm của nó, nên hoạt động này không giới thiệu tính phi hạt nhân (nó chỉ tạo ra điểm kỳ dị vì điểm mới, tâm, thuộc cùng một không gian). Từ đó chúng ta có thể kiểm tra xem cấu hình ban đầu có phải là euclid hay không. Điều đó có đúng không?

— ttnphns