Giá trị dự kiến của phân phối Dirichlet sửa đổi là gì? (vấn đề tích hợp)

Thật dễ dàng để tạo ra một biến ngẫu nhiên với phân phối Dirichlet bằng các biến Gamma có cùng tham số tỷ lệ. Nếu:

$X_i \sim \text{Gamma}(\alpha_i, \beta)$

Sau đó:

$\left(\frac{X_1}{\sum_j X_j},\; \ldots\; , \frac{X_n}{\sum_j X_j}\right) \sim \text{Dirichlet}(\alpha_1,\;\ldots\;,\alpha_n)$

Vấn đề Điều gì xảy ra nếu các tham số tỷ lệ không bằng nhau?

$X_i \sim \text{Gamma}(\alpha_i, \beta_i)$

Vậy thì phân phối biến này là gì?

$\left(\frac{X_1}{\sum_j X_j},\; \ldots\; , \frac{X_n}{\sum_j X_j}\right) \sim \; ?$

Đối với tôi nó là đủ để biết giá trị dự kiến của phân phối này.
Tôi cần một công thức đại số khép kín gần đúng có thể được đánh giá rất nhanh bằng máy tính.
Giả sử xấp xỉ với độ chính xác 0,01 là đủ.
Bạn có thể cho rằng:

$\alpha_i, \beta_i \in \mathbb{N}$

Lưu ý Tóm lại, nhiệm vụ là tìm một xấp xỉ của tích phân này:

$f(\vec{\alpha}, \vec{\beta}) = \int_{\mathbb{R}^n_+} \;\frac{x_1}{\sum_j x_j} \cdot \prod_j \frac{\beta_j^{\alpha_j}}{\Gamma(\alpha_j)} x_j^{\alpha_j - 1} e^{-\beta_j x_j} \;\; dx_1\ldots dx_n$

— Łukasz
nguồn

@ Ukasz Bạn có thể nói gì thêm về các tham số

và

không? Có thể thu được các biểu thức chính xác cho

và do đó gần đúng với các kỳ vọng của các tỷ lệ, nhưng đối với các kết hợp nhất định của các tham số, người ta có thể khai thác các xấp xỉ Bình thường hoặc yên ngựa với ít công việc hơn. Tôi không nghĩ sẽ có một phương pháp xấp xỉ phổ quát, đó là lý do tại sao các hạn chế bổ sung sẽ được hoan nghênh.

n

$n$

α_{i}

$\alpha_i$

β_{i}

$\beta_i$

\sum_{j} X_{j}

$\sum_j{X_j}$

— whuber

và

tương quan với nhau nên chúng ta phải tính gần đúng chính tích phân.

thường là một con số nhỏ như 1 hoặc 2 và đôi khi lớn như 10000. Tương tự wih

nhưng nó thường là lớn hơn 10 lần

X_{1}

$X_1$

\sum_{j} X_{j}

$\sum_j X_j$

α_{i}

$\alpha_i$

β_{i}

$\beta_i$

α_{i}

$\alpha_i$

— Łukasz Lew

Vấn đề là với nhỏ

. Nếu tất cả các

là lớn thì approxmiation lợi ích của toàn thể thiếu là:

α_{i}

$\alpha_i$

α_{i}

$\alpha_i$

\frac{α_{1} / β_{1}}{\sum_{j} α_{j} / β_{j}}

$\frac{\alpha_1/\beta_1}{\sum_j \alpha_j/\beta_j}$

— Łukasz Lew

@ Ukasz Nếu bạn cần đánh giá biểu thức của kỳ vọng, tại sao bạn cần một công thức đại số? Tôi đang suy nghĩ trong việc áp dụng một số thủ thuật số để có được kỳ vọng nhưng tôi cần một số phản hồi :)

— deps_stats

Tôi cần đánh giá nó nhiều lần trong chương trình của tôi. Nó phải rất nhanh, tức là không có vòng lặp và tốt nhất là không có quá nhiều sự phân chia.

— Łukasz Lew

Chỉ là một nhận xét ban đầu, nếu bạn muốn tốc độ tính toán, bạn thường phải hy sinh độ chính xác. "Chính xác hơn" = "Thêm thời gian" nói chung. Dù sao ở đây là một xấp xỉ thứ hai, nên cải thiện "thô" xấp xỉ mà bạn đề xuất trong nhận xét của bạn ở trên:

E (\frac{X_{j}}{\sum_{i} X_{i}}) \approx \frac{E [X_{j}]}{E [\sum_{i} X_{i}]} - \frac{c o v [\sum_{i} X_{i}, X_{j}]}{E [\sum_{i} X_{i}]^{2}} + \frac{E [X_{j}]}{E [\sum_{i} X_{i}]^{3}} V a r [\sum_{i} X_{i}]

$E\Bigg(\frac{X_{j}}{\sum_{i}X_{i}}\Bigg)\approx \frac{E[X_{j}]}{E[\sum_{i}X_{i}]} -\frac{cov[\sum_{i}X_{i},X_{j}]}{E[\sum_{i}X_{i}]^2} +\frac{E[X_{j}]}{E[\sum_{i}X_{i}]^3} Var[\sum_{i}X_{i}]$

= \frac{α_{j}}{\sum_{i} \frac{β_{j}}{β_{i}} α_{i}} \times [1 - \frac{1}{(\sum_{i} \frac{β_{j}}{β_{i}} α_{i})} + \frac{1}{(\sum_{i} \frac{α_{i}}{β_{i}})^{2}} (\sum_{i} \frac{α_{i}}{β_{i}^{2}})]

$= \frac{\alpha_{j}}{\sum_{i} \frac{\beta_{j}}{\beta_{i}}\alpha_{i}}\times\Bigg[1 - \frac{1}{\Bigg(\sum_{i} \frac{\beta_{j}}{\beta_{i}}\alpha_{i}\Bigg)} + \frac{1}{\Bigg(\sum_{i} \frac{\alpha_{i}}{\beta_{i}}\Bigg)^2}\Bigg(\sum_{i} \frac{\alpha_{i}}{\beta_{i}^2}\Bigg)\Bigg]$

EDIT Một lời giải thích cho việc mở rộng ở trên đã được yêu cầu. Câu trả lời ngắn gọn là wikipedia . Câu trả lời dài được đưa ra dưới đây.

$f(x,y)=\frac{x}{y}$ $f$ $X-E(X)$ $Y-E(Y)$ which are both zero when taking expectations.

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = 0

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=0$

\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = - \frac{1}{y^{2}}

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-\frac{1}{y^2}$

\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = 2 \frac{x}{y^{3}}

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2\frac{x}{y^3}$

And so the taylor series up to second order is given by:

\frac{x}{y} \approx \frac{μ_{x}}{μ_{y}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{μ_{y}^{2}} 2 (x - μ_{x}) (y - μ_{y}) + 2 \frac{μ_{x}}{μ_{y}^{3}} (y - μ_{y})^{2})

$\frac{x}{y} \approx \frac{\mu_x}{\mu_y}+\frac{1}{2}\Bigg(-\frac{1}{\mu_y^2}2(x-\mu_x)(y-\mu_y) + 2\frac{\mu_x}{\mu_y^3}(y-\mu_y)^2 \Bigg)$

Taking expectations yields:

E [\frac{x}{y}] \approx \frac{μ_{x}}{μ_{y}} - \frac{1}{μ_{y}^{2}} E [(x - μ_{x}) (y - μ_{y})] + \frac{μ_{x}}{μ_{y}^{3}} E [(y - μ_{y})^{2}]

$E\Big[\frac{x}{y}\Big] \approx \frac{\mu_x}{\mu_y}-\frac{1}{\mu_y^2}E\Big[(x-\mu_x)(y-\mu_y)\Big] + \frac{\mu_x}{\mu_y^3}E\Big[(y-\mu_y)^2\Big]$

Which is the answer I gave. (although I initially forgot the minus sign in the second term)

— probabilityislogic
nguồn

This looks like exactly what I need. Can you explain how you got this expansion? I tried in a lot of ways and was unable to do that ...

— Łukasz Lew

Giá trị dự kiến ​​của phân phối Dirichlet sửa đổi là gì? (vấn đề tích hợp)

Giá trị dự kiến của phân phối Dirichlet sửa đổi là gì? (vấn đề tích hợp)