Một giải pháp dạng đóng kín có nghĩa là gì?

Tôi đã bắt gặp thuật ngữ "giải pháp dạng đóng" khá thường xuyên. Một giải pháp dạng đóng có nghĩa là gì? Làm thế nào để xác định xem một giải pháp dạng gần tồn tại cho một vấn đề nhất định? Tìm kiếm trực tuyến, tôi tìm thấy một số thông tin, nhưng không có gì trong bối cảnh phát triển một mô hình / giải pháp thống kê hoặc xác suất.

Tôi hiểu rất rõ về hồi quy, vì vậy nếu bất kỳ ai có thể giải thích khái niệm này với tham chiếu đến hồi quy hoặc phù hợp với mô hình, nó sẽ dễ tiêu thụ. :)

"Một phương trình được gọi là một giải pháp dạng đóng nếu nó giải quyết một vấn đề nhất định về các hàm và các phép toán từ một tập hợp được chấp nhận chung. Ví dụ, một tổng vô hạn thường không được coi là dạng đóng. Tuy nhiên, lựa chọn cái gì gọi là dạng đóng và cái không phải là tùy ý vì hàm "dạng đóng" mới có thể được định nghĩa đơn giản theo tổng của vô hạn. " --Wolfram Alpha

và

"Trong toán học, một biểu thức được gọi là biểu thức dạng đóng nếu nó có thể được biểu thị bằng phương pháp phân tích theo số lượng hữu hạn của các hàm" nổi tiếng "nhất định. Thông thường, các hàm nổi tiếng này được định nghĩa là các hàm cơ bản. Các hằng số, một biến x, các phép toán cơ bản của số học (+ - ×), gốc thứ n, số mũ và logarit (do đó cũng bao gồm các hàm lượng giác và hàm lượng giác nghịch đảo). của một biểu thức dạng đóng. " - Wikipedia

Một ví dụ về giải pháp dạng đóng trong hồi quy tuyến tính sẽ là phương trình bình phương nhỏ nhất

Hầu hết các thủ tục ước tính liên quan đến việc tìm các tham số giảm thiểu (hoặc tối đa hóa) một số hàm mục tiêu. Ví dụ, với OLS, chúng tôi giảm thiểu tổng số dư bình phương. Với Ước tính Khả năng Tối đa, chúng tôi tối đa hóa chức năng khả năng đăng nhập. Sự khác biệt là tầm thường: tối thiểu hóa có thể được chuyển đổi thành tối đa hóa bằng cách sử dụng tiêu cực của hàm mục tiêu.

Đôi khi vấn đề này có thể được giải quyết theo đại số, tạo ra một giải pháp dạng đóng. Với OLS, bạn giải quyết hệ thống các điều kiện đặt hàng đầu tiên và nhận công thức quen thuộc (mặc dù bạn vẫn có thể cần một máy tính để đánh giá câu trả lời). Trong các trường hợp khác, điều này là không thể về mặt toán học và bạn cần tìm kiếm các giá trị tham số bằng máy tính. Trong trường hợp này, máy tính và thuật toán đóng vai trò lớn hơn. Bình phương tối thiểu phi tuyến là một ví dụ. Bạn không nhận được một công thức rõ ràng; tất cả những gì bạn nhận được là một công thức mà bạn cần để máy tính thực hiện. Công thức có thể được bắt đầu với dự đoán ban đầu về các tham số có thể là gì và chúng có thể thay đổi như thế nào. Sau đó, bạn thử kết hợp nhiều tham số khác nhau và xem cái nào cung cấp cho bạn giá trị hàm mục tiêu thấp nhất / cao nhất. Đây là cách tiếp cận vũ phu và mất nhiều thời gian. Ví dụ,$10^5$

Hoặc bạn có thể bắt đầu bằng một phỏng đoán và tinh chỉnh dự đoán đó theo một số hướng cho đến khi các cải tiến trong hàm mục tiêu nhỏ hơn một số giá trị. Chúng thường được gọi là phương thức gradient (mặc dù có những phương pháp khác không sử dụng gradient để chọn hướng đi, như thuật toán di truyền và ủ mô phỏng). Một số vấn đề như thế này đảm bảo rằng bạn tìm thấy câu trả lời đúng một cách nhanh chóng (hàm mục tiêu bậc hai). Những người khác không đảm bảo như vậy. Bạn có thể lo lắng rằng mình đã bị mắc kẹt tại một địa phương, thay vì toàn cầu, tối ưu, vì vậy bạn hãy thử một loạt các dự đoán ban đầu. Bạn có thể thấy rằng các tham số cực kỳ khác nhau cung cấp cho bạn cùng một giá trị của hàm mục tiêu, vì vậy bạn không biết nên chọn tập nào.

$\alpha^* = \ln \bar y$$\ln (\bar y + k)$

Tôi nghĩ rằng trang web này cung cấp một trực giác đơn giản, một đoạn trích trong đó là:

Một giải pháp dạng đóng (hoặc biểu thức dạng đóng) là bất kỳ công thức nào có thể được đánh giá trong một số hữu hạn các thao tác chuẩn. ... Một giải pháp số là bất kỳ xấp xỉ nào có thể được đánh giá trong một số hữu hạn các hoạt động tiêu chuẩn. Các giải pháp dạng đóng và giải pháp số tương tự nhau ở chỗ cả hai đều có thể được đánh giá với số lượng hữu hạn các thao tác chuẩn. Chúng khác nhau ở chỗ một giải pháp dạng đóng là chính xác trong khi một giải pháp số chỉ là gần đúng.

Tìm kiếm các thuật ngữ lay hoặc các verbiage đau đớn mà định nghĩa chặt chẽ ý nghĩa? Tôi sẽ giả sử các điều khoản lay vì người khác có thể được tìm thấy ở khắp mọi nơi. Giả sử bạn muốn giải pháp dạng đóng của căn bậc hai là 8. Giải pháp dạng đóng là 2 * (2) ^ 1/2 hoặc hai lần căn bậc hai của hai. Điều này trái ngược với giải pháp dạng không đóng 2.8284. (xem căn bậc hai wikipedia của 2 để xem hơn 69 vị trí thập phân, nó chính xác trong khoảng 1 / 10.000) Một được xác định tuyệt đối theo thuật ngữ toán học trong khi cái kia thì không. Một giải pháp dạng đóng cung cấp một câu trả lời chính xác và một giải pháp không phải là dạng đóng là một xấp xỉ, nhưng bạn có thể nhận được một giải pháp dạng không đóng gần như với một giải pháp dạng đóng như bạn muốn. Âm thanh phản trực quan, nhưng nếu bạn cần nó chính xác hơn, sau đó chỉ cần nghiền ra một chút tính toán.

Dạng đóng = dạng đóng (chức năng)

Đóng có nghĩa là không có gì có thể đi vào bên trong; nghĩa là, không có giải pháp thay thế => chỉ một giải pháp => chỉ một chức năng có thể thiết lập mối quan hệ giữa kết quả và các yếu tố dự đoán.