Mật độ siêu nhân cho mô hình Gamma-Poisson phân cấp

Trong một mô hình thứ bậc của dữ liệu nơi y ~ Poisson ( λ ) λ ~ Gamma ( α , β ) nó dường như là điển hình trong thực tế để chọn giá trị ( α , β ) mà giá trị trung bình và phương sai của phân phối gamma khoảng phù hợp với giá trị trung bình và phương sai của dữ liệu y (ví dụ, Clayton và Kaldor, 1987 "Ước tính các vịnh ước tính về rủi ro tương đối chuẩn hóa theo tuổi đối với bản đồ bệnh", Sinh trắc học ). Tuy nhiên, rõ ràng đây chỉ là một giải pháp đặc biệt , vì nó sẽ vượt quá sự tự tin của các nhà nghiên cứu về các tham số$y$

$$y \sim \textrm{Poisson}(\lambda)$$ $$\lambda \sim \textrm{Gamma}(\alpha, \beta)$$ $\alpha, \beta)$$y$ và các dao động nhỏ trong dữ liệu đã nhận ra có thể có hậu quả lớn đối với mật độ gamma,ngay cả khiquy trình tạo dữ liệu cơ bản vẫn giữ nguyên.$(\alpha, \beta)$

Hơn nữa, trong Phân tích dữ liệu Bayes (2nd Ed), Gelman viết rằng phương pháp này là " cẩu thả ;" trong cuốn sách và bài viết này (bắt đầu p. 3232), ông thay vào đó gợi ý rằng một số mật độ hyperprior nên được lựa chọn, trong một thời trang tương tự như ví dụ khối u chuột (bắt đầu p. 130).$p(\alpha, \beta)$

Mặc dù rõ ràng là bất kỳ là chấp nhận được, miễn là nó tạo ra một mật độ sau hữu hạn, tôi đã không tìm thấy bất kỳ ví dụ về mật độ hyperprior rằng các nhà nghiên cứu đã sử dụng cho vấn đề này trong quá khứ. Tôi sẽ đánh giá rất cao nếu ai đó có thể chỉ cho tôi những cuốn sách hoặc bài báo sử dụng mật độ siêu chiến binh để ước tính mô hình Poisson-Gamma. Lý tưởng nhất, tôi quan tâm đến p ( α , β ) mà là tương đối bằng phẳng và sẽ được chi phối bởi các dữ liệu như trong ví dụ khối u chuột, hoặc một cuộc thảo luận so sánh một vài thông số kỹ thuật thay thế và thương mại-off gắn liền với mỗi người.$p(\alpha, \beta)$$p(\alpha, \beta)$

Không thực sự trả lời câu hỏi, vì tôi không chỉ cho bạn những cuốn sách hoặc bài báo đã sử dụng một siêu nhân, mà thay vào đó là mô tả và liên kết đến, những thứ về các linh mục về các thông số Gamma.

$\lambda$$\alpha$$\beta/(1+\beta)$$(0,1)$$p = \beta/(1+\beta)$$p$

$p(\beta) \propto \beta^{-1/2}(1+\beta)^{-1}$

$\beta$$\beta$$1/\beta$$\beta$$y | \alpha, \beta$$\lambda | \alpha, \beta$$(\alpha, p)$$\alpha$$p$$\lambda$$\lambda$$\beta$

$\alpha$

$p(\alpha) \propto \sqrt{\text{PG}(1,\alpha)}$

$\text{PG}(1,\alpha) = \sum_{i=0}^{\infty}(i+\alpha)^{-2}$$1/\beta$

Nếu chúng tôi muốn đi theo tuyến đường Jeffreys đầy đủ, tạo thành Jeffreys thực sự trước các thông số Gamma, chúng tôi sẽ nhận được:

$p(\alpha, \beta) \propto \sqrt{\alpha \text{PG}(1,\alpha)-1}/\beta$

Tuy nhiên, các linh mục Jeffreys cho các tham số đa chiều thường có các đặc tính kém cũng như các đặc điểm hội tụ kém (xem liên kết đến bài giảng ). Tôi không biết liệu đây có phải là trường hợp của Gamma hay không, nhưng thử nghiệm sẽ cung cấp một số thông tin hữu ích.

Để biết thêm về các linh mục cho Gamma, hãy xem trang 13-14 của Danh mục các Linh mục Không Thông tin , Yang và Berger. Rất nhiều bản phân phối khác cũng ở đó. Để biết tổng quan về Jeffreys và các linh mục tham khảo, đây là một số ghi chú bài giảng .