Khi khớp đường cong, làm cách nào để tính khoảng tin cậy 95% cho các thông số được trang bị của tôi?

Tôi đang điều chỉnh đường cong cho dữ liệu của mình để trích xuất một tham số. Tuy nhiên, tôi không chắc chắn về độ chắc chắn của tham số đó là gì và cách tôi sẽ tính toán / thể hiện khoảng tin cậy % của nó .$95$

Nói cho một tập dữ liệu chứa dữ liệu phân rã theo cấp số nhân, tôi khớp một đường cong cho mỗi tập dữ liệu. Sau đó, thông tin tôi muốn trích xuất là số mũ . Tôi biết các giá trị của t và giá trị của một thứ tôi không quan tâm (đó là một biến xuất phát từ dân số, không phải là quá trình tôi đang cố gắng mô hình hóa).$b$$t$$a$

Tôi sử dụng hồi quy phi tuyến tính để phù hợp với các tham số này. Tuy nhiên tôi không biết làm thế nào để tính khoảng tin cậy % cho bất kỳ phương pháp nào, vì vậy câu trả lời rộng hơn cũng được chào đón.$95$

Khi tôi có giá trị của mình cho , làm cách nào để tính khoảng tin cậy 95 % của nó ? Cảm ơn trước!$b$$95$

Vấn đề với tuyến tính hóa và sau đó sử dụng hồi quy tuyến tính là giả định phân phối phần dư Gaussian không có khả năng đúng với dữ liệu được chuyển đổi.

Nó thường là tốt hơn để sử dụng hồi quy phi tuyến. Hầu hết các chương trình hồi quy phi tuyến báo cáo lỗi tiêu chuẩn và khoảng tin cậy của các tham số phù hợp nhất. Nếu bạn không, các phương trình này có thể giúp đỡ.

Mỗi lỗi tiêu chuẩn được tính bằng phương trình này:

SE(Pi) = sqrt[ (SS/DF) * Cov(i,i) ]

• Pi: tham số điều chỉnh (không đổi) của i-th
• SS: tổng số dư bình phương
• DF: bậc tự do (số điểm dữ liệu trừ đi số lượng tham số phù hợp bằng hồi quy)
• Cov (i, i): phần tử đường chéo thứ i của ma trận hiệp phương sai
• sqrt (): căn bậc hai

Và đây là phương trình để tính khoảng tin cậy cho từng tham số từ giá trị phù hợp nhất, sai số chuẩn của nó và số bậc tự do.

From [BestFit(Pi)- t(95%,DF)*SE(Pi)]  TO  [BestFit(Pi)+
 t(95%,DF)*SE(Pi)] 

• BestFit (Pi) là giá trị phù hợp nhất cho tham số thứ i
• t là giá trị từ phân phối t cho độ tin cậy 95% cho số DF được chỉ định.

• DF là bậc tự do.

  Ví dụ với Excel cho độ tin cậy 95% (vì vậy alpha = 0,05) và 23 bậc tự do: = TINV (0,05,23) DF bằng độ tự do (số điểm dữ liệu trừ số tham số phù hợp với hồi quy)

Nếu tin rằng một mô hình thích hợp cho dữ liệu của bạn là:

$f = ae^{-bt}$

Sau đó, bạn có thể lấy nhật ký chuyển đổi dữ liệu phản hồi của mình sao cho một mô hình phù hợp là:

$f' = a' -bt$

$f' = ln(f)$$a' = ln(a)$

# Rough simulated data set.
set.seed(1)
a <- 50; b <- 0.2; n <- 25
x <- 1:n
y <- a*(exp(-b * x))
y <- y + rnorm(n, sd=0.25)
y <- ifelse(y>0, y, 0.1)
plot(x,y)

# Linearise:
y2 <- log(y)
plot(x,y2)

# Fit model to transformed data
model <- lm(y2 ~ x)
summary(model)
confint(model)

# Or:
param <- summary(model)$coefficients[, 1]; se <- summary(model)$coefficients[, 2]
param + qt(0.975, 23) * se
param - qt(0.975, 23) * se

$~N(0,\sigma^2)$