Gamma so với phân phối hợp lý

Tôi có một bản phân phối được quan sát bằng thực nghiệm trông rất giống với bản phân phối gamma hoặc logic. Tôi đã đọc rằng phân phối lognatural là phân phối xác suất entropy tối đa cho một phương sai ngẫu nhiên mà giá trị trung bình và phương sai của được cố định. Phân phối gamma có thuộc tính tương tự không? $X$ $\ln(X)$

pdf gamma-distribution lognormal

— OSE
nguồn

Tại sao một tài sản như vậy sẽ có giá trị trong việc quyết định đó sẽ là một mô hình thích hợp?

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b Tôi vẫn là người mới bắt đầu khi nói về thống kê nên kiến thức của tôi khá cơ bản. Nhìn vào các âm mưu của gamma và phân phối logic, về mặt chất lượng, chúng trông rất giống nhau. Tôi đang tìm kiếm sự khác biệt về số lượng giữa hai. Ví dụ, một số ví dụ về các ứng dụng vật lý nơi phân phối gamma hoặc logic bất thường xảy ra là gì?

— OSE

Trong thực tế, có khả năng không bao giờ thực sự xảy ra; chúng là những mô hình cực kỳ đơn giản đôi khi gần đúng (nếu thô) gần đúng với thực tế. Tôi sẽ đăng một câu trả lời thảo luận về một số khác biệt về chất.

— Glen_b -Reinstate Monica

@glen_b: lý do là nếu bạn chỉ đo những thống kê đó thì phân phối giả định tối thiểu là duy nhất phân phối gia đình theo cấp số nhân với những thống kê đầy đủ đó. Trong khi bất kỳ phân phối nào có thể là một mô hình thực tế kém, nếu người ta không được tự do lựa chọn các phép đo được thực hiện, thì đây là một cách tuyệt vời để chọn một mô hình.

— Neil G

@Glen_b Tôi đoán phân phối hợp lý sẽ xuất hiện trong một số tình huống vật lý vì CLT.

— Stéphane Laurent

Câu trả lời:

Đối với sự khác biệt về chất, thì logic và gamma, như bạn nói, khá giống nhau.

Thật vậy, trong thực tế, chúng thường được sử dụng để mô hình các hiện tượng tương tự (một số người sẽ sử dụng gamma trong khi những người khác sử dụng logic bất thường). Họ là cả hai, ví dụ, không đổi hệ số-of-biến mô hình (CV cho lognormal là , cho gamma đó là $\sqrt{e^{\sigma^2} -1}$ ). $1/\sqrt \alpha$

[Làm thế nào nó có thể là hằng số nếu nó phụ thuộc vào một tham số, bạn yêu cầu? Nó áp dụng khi bạn mô hình thang đo (vị trí cho thang đo log); đối với logic bất thường, đóng vai trò là tham số tỷ lệ, trong khi đối với gamma, thang đo là tham số không phải là tham số hình dạng (hoặc đối ứng của nó nếu bạn sử dụng tham số hóa tỷ lệ hình dạng). Tôi sẽ gọi tham số quy mô cho việc phân phối gamma . Mô hình Gamma GLMs giá trị trung bình ( ) trong khi giữ liên tục; trong trường hợp đó cũng là một tham số quy mô. Một mô hình khác nhau với và liên tục hoặc tương ứng sẽ có CV không đổi.] $\mu$ $\beta$ $\mu=\alpha\beta$ $\alpha$ $\mu$ $\mu$ $\alpha$ $\sigma$

Bạn có thể thấy hướng dẫn để xem mật độ của nhật ký của họ , điều này thường cho thấy sự khác biệt rất rõ ràng.

Nhật ký của một biến ngẫu nhiên lognatural là ... bình thường. Nó đối xứng.

Nhật ký của một biến ngẫu nhiên gamma là lệch trái. Tùy thuộc vào giá trị của tham số hình dạng, nó có thể khá lệch hoặc gần như đối xứng.

Đây là một ví dụ, với cả lognatural và gamma có nghĩa là 1 và phương sai 1/4. Biểu đồ trên cùng cho thấy mật độ (gamma màu xanh lá cây, lognatural màu xanh lam) và phần dưới hiển thị mật độ của các bản ghi:

gamma and lognormal, densitiy and density of log

(Vẽ sơ đồ nhật ký mật độ của các bản ghi cũng hữu ích. Nghĩa là lấy thang đo log trên trục y ở trên)

$\text{CV}^3+3\text{CV}$ $2\text{CV}$

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn

+1. Do you know if there is a closed formula for the skewness of the log of gamma? For lognormal, the skewness of log is clearly zero, and I am wondering if there is some expression for the gamma. Wikipedia gives formulas for the mean and the variance of log(gamma), but not for the skewness.

— amoeba says Reinstate Monica

Gradshteyn & Ryzhik (sect 4.358, 7th ed) list explicit closed forms for

\int_{0}^{\infty} x^{ν - 1} e^{- μ x} (\ln x)^{p} d x

$\int_0^\infty x^{\nu-1}e^{-\mu x}(\ln x)^p dx$ for

p = 2, 3, 4

$p=2,3,4$ while the

p = 1

$p=1$ case is done in 4.352 (assuming you regard expressions in

Γ, ψ

$\Gamma, \psi$ and

ζ

$\zeta$ functions as closed form) -- from which it is definitely doable up to kurtosis; they give the integral for all

p

$p$ as a derivative of a gamma function so presumably it's feasible to go higher. So skewness is certainly doable but not especially "neat". If you want to pursue it I could give you the integrals.

— Glen_b -Reinstate Monica

However we don't need to evaluate the skewness in order to discern its sign. Examining the log of the density of the logs should suffice to establish that because one side clearly dominates the other.

— Glen_b -Reinstate Monica

Thanks Glen. I decided to post it as a new question: stats.stackexchange.com/questions/312803. I spent some time searching for a ready answer but could not find any, so it might be valuable for the future to have it written down somewhere where it's easy to find. It might be a somewhat better fit for Math.SE, but I'd prefer to have it here, to be honest.

— amoeba says Reinstate Monica

Yes, the gamma distribution is the maximum entropy distribution for which the mean $E(X)$ and mean-log $E(\log X)$ are fixed. As with all exponential family distributions, it is the unique maximum entropy distribution for a fixed expected sufficient statistic.

To answer your question about physical processes that generate these distributions: The lognormal distribution arises when the logarithm of X is normally distributed, for example, if X is the product of very many small factors. If X is gamma distributed, it is the sum of many exponentially-distributed variates. For example, the waiting time for many events of a Poisson process.

— Neil G
nguồn

No need of "many" exponential variates to be Gamma.

— Stéphane Laurent