liên quan đến độc lập có điều kiện và đại diện đồ họa của nó

Khi nghiên cứu lựa chọn hiệp phương sai, tôi đã từng đọc ví dụ sau. Đối với mô hình sau:

Ma trận hiệp phương sai và ma trận hiệp phương sai của nó được đưa ra như sau,

Tôi không hiểu tại sao sự độc lập của và được quyết định bởi hiệp phương sai ở đây?$x$$y$

Logic toán học nằm dưới mối quan hệ này là gì?

Ngoài ra, biểu đồ bên trái trong hình dưới đây được tuyên bố là nắm bắt mối quan hệ độc lập giữa và ; tại sao?$x$$y$

Ma trận hiệp phương sai nghịch đảo có thể được sử dụng để tìm ra các phương sai và hiệp phương sai có điều kiện cho các phân phối Gaussian đa biến. Một câu hỏi trước đó cung cấp một số tài liệu tham khảo

Ví dụ: để tìm hiệp phương sai có điều kiện của và với giá trị , bạn sẽ lấy góc dưới cùng bên phải của ma trận hiệp phương sai nghịch đảo$Y$$Z$$X=x$

$$\left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{rr} \tfrac32 & \tfrac12 \\ \tfrac12 & \tfrac12 \end{array} \right)$$

mà thực sự đưa ra ma trận hiệp phương sai của và dựa trên giá trị cho .$Y$$Z$$X=x$

Tương tự như vậy để tìm ma trận hiệp phương sai có điều kiện của và với giá trị cho , bạn sẽ lấy góc trên cùng bên trái của ma trận hiệp phương sai nghịch đảo$X$$Y$$Z=z$

$$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$

nói với bạn rằng hiệp phương sai có điều kiện giữa và cho là (và mỗi phương sai điều kiện của chúng là ). $X$$Y$$Z=z$$0$$1$

Để kết luận rằng hiệp phương sai có điều kiện này hàm ý độc lập có điều kiện, bạn cũng phải sử dụng thực tế đây là một Gaussian đa biến (vì nói chung hiệp phương sai không nhất thiết không bao hàm sự độc lập). Bạn biết điều này từ việc xây dựng.

Có thể cho rằng bạn cũng biết về sự độc lập có điều kiện khỏi việc xây dựng, vì bạn được thông báo rằng và là iid, do đó, dựa trên một giá trị cụ thể cho , và cũng là iid . Nếu bạn biết , không có thêm thông tin từ giúp bạn nói gì về giá trị có thể có của .$\epsilon_1$$\epsilon_2$$Z=z$$X=z+\epsilon_1$$Y=z+\epsilon_2$$Z=z$$X$$Y$

Đây là một bổ sung cho câu trả lời chính xác và được chấp nhận. Cụ thể, câu hỏi ban đầu chứa một câu hỏi tiếp theo về tuyên bố mà cuốn sách đưa ra.

Ngoài ra, biểu đồ bên trái trong hình dưới đây được tuyên bố là nắm bắt mối quan hệ độc lập giữa và , tại sao? $X$$Y$

Đây là những gì được giải quyết trong câu trả lời này, và là điều duy nhất được giải quyết trong câu trả lời này.

Để chắc chắn rằng chúng ta đang ở trên cùng một trang, trong phần tiếp theo tôi sử dụng định nghĩa này về đồ thị độc lập có điều kiện (không bị ngăn chặn) tương ứng (ít nhất là khoảng) với các trường ngẫu nhiên Markov:

Định nghĩa: Đồ thị độc lập có điều kiện của là vô hướng đồ thị nơi và là không trong tập cạnh khi và chỉ khi . (Trong đó biểu thị vectơ của tất cả các biến ngẫu nhiên ngoại trừ và .)$X$$G=(K,E)$$K=\{ 1, 2, \dots, k \}$$(i,j)$$X_i \perp \! \! \! \perp X_j | X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_i$$X_j$

Từ P. 60 của Whittaker, mô hình đồ họa trong thống kê đa biến toán học ứng dụng (1990).

Ở đây, bằng cách sử dụng đối số được đưa ra bởi Henry trong câu trả lời đúng, được chấp nhận, chúng ta có thể thiết lập rằng và độc lập có điều kiện với , theo ký hiệu, .$X$$Y$$Z$$X \perp \! \! \perp Y \ | Z$

Vì ba biến ngẫu nhiên duy nhất là và , điều này có nghĩa là và độc lập có điều kiện khi được cung cấp tất cả các biến ngẫu nhiên còn lại khác (trong trường hợp này chỉ là ).$X, Y$$Z$$X$$Y$$Z$

Sử dụng định nghĩa của đồ thị độc lập có điều kiện đưa ra ở trên, các phương tiện này mà tất cả các cạnh trong đồ thị nên được bao gồm trừ mép giữa và . Thật vậy, đây chính xác là những gì được hiển thị trên biểu đồ bên phải của hình ảnh đó.$X$$Y$

Về biểu đồ bên trái, không rõ ràng khi không có thêm ngữ cảnh, nhưng tôi nghĩ ý tưởng chỉ là hiển thị biểu đồ độc lập có điều kiện sẽ như thế nào nếu chúng ta không có số không trong các mục của ma trận hiệp phương sai.

Cụ thể, sử dụng định nghĩa trên, chúng ta thấy rằng chúng ta có thể bắt đầu với biểu đồ hoàn chỉnh trên các nút , là biểu đồ bên trái trong hình đó, và sau đó rút ra biểu đồ độc lập có điều kiện từ biểu đồ đầu tiên đó bằng cách xóa tất cả các cạnh tương ứng với các biến ngẫu nhiên độc lập có điều kiện. Hình ảnh so sánh rõ ràng hai biểu đồ ("so với"), mà theo tôi gợi ý so sánh giữa biểu đồ hoàn chỉnh người ta có thể bắt đầu và biểu đồ độc lập có điều kiện kết thúc bằng nếu / khi chúng áp dụng định nghĩa biểu đồ độc lập có điều kiện như được đưa ra ở trên.$X, Y, Z$